Równanie rekurencyjne janek: Rozwiąż zależność rekurencyjną metodą równania charakterystycznego a_n=4a_n−1−4a_n−2+2*2ⁿ a₀=1 , a₁=2 Wychodzi mi, że a_n=2ⁿ , ale wtedy wyrazy tego ciągu nie zgadzają się z tym rekurencyjnym...

kochanus_niepospolitus: pokaż jak liczysz

kochanus_niepospolitus: a₃ = 2²*2¹ − 2²*2⁰ + 2*2³ = 2² + 2⁴ ≠ 2³

janek: x_n jednorodne = (An+B)*2ⁿ bo 2 jest pierwiastkiem dwukrotnym x_n niejednorodne = a*2ⁿ wychodzi sprzeczność, mnożę przez n, znowu sprzeczność, jeszcze raz mnożę i a=1/4 x_n=(An+B)*2ⁿ+(1/4)*2ⁿ podstawiam a₀ i a₁ i wychodzi, że A=0 i B=3/4 Zatem a_n=2ⁿ po uproszczeniu, ale coś tu się nie zgadza, przepraszam, że tak skrótowo, ale nie mam za bardzo czasu i nie umiem tu tego wszystkiego ładnie napisać, mam nadzieję, że wiadomo o co chodzi.

Adamm: A(x) = suma₀ a_nxⁿ = 1 + 2x + suma₀ a_n+2xⁿ⁺² = = 1 + 2x + suma₀ (4a_n+1 − 4a_n+2*2ⁿ)xⁿ⁺² =

	2x2
= 1 + 2x + 4x(A(x)−1) − 4x2A(x) +
	1−2x

	1−4x+6x2
A(x) =
	(1−2x)3

	A1		A2		A3
A(x) =		+		+
	1−2x		(1−2x)2		(1−2x)3

1−4x+6x²=A₃+A₂−2A₂x+A₁−4A₁x+4A₁x² 4A₁=6 ⇒ A₁=3/2 −4A₁−2A₂=−4 ⇒ A₂=−1 A₃+A₂+A₁=1 ⇒ A₃=1/2

1
	= suma0 xn
1−x

1
	=suma0 (n+1)xn
(1−x)2

1		1
	=		suma0 (n+2)(n+1)xn
(1−x)3		2

A(x) = suma₀ ((3/2)2ⁿ−(n+1)2ⁿ+(1/4)(n+2)(n+1)2ⁿ)xⁿ a_n=(3/2)2ⁿ−(n+1)2ⁿ+(1/4)(n+2)(n+1)2ⁿ

janek: Ale dalej coś mi nie pasuje Z twojego wzoru a₂=6 a z rekurencyjnego a₂=12 O co chodzi? :c

Adamm: z drugiej strony, jak zobaczyć do wolframa, do wynik jest inny, więc chyba się gdzieś pomyliłem

Mila: 2 − jest pierwiastkiem równania charakterystycznego zatem a_n⁽²⁾=C*n^k*2ⁿ dla a_n⁽²⁾=C*n*2ⁿ mamy sprzeczność a_n⁽²⁾=c*n²*2ⁿ C*n²*2ⁿ=4*C(n−1)²*2ⁿ⁻¹−4*C*(n−2)²*2ⁿ⁻²+2*2ⁿ po wykonaniu działań i redukcji 2ⁿ*C=2*2ⁿ C=1 rozwiązanie jest postaci: a_n=A*2ⁿ+B*n*2ⁿ+n²*2ⁿ A=1 i B=−1 z warunków początkowych a_n=2ⁿ−n*2ⁿ+n²*2ⁿ a_n=2ⁿ*(1−n+n²) spr. a₀=1, a₁=2*(1−1+1)=2 ==============

Adamm: już na początku napisałem: 2*2ⁿ a powinienem 8*2ⁿ

Mila: Po redukcji : C*2*2ⁿ=2*2ⁿ C=1, źle przepisałam z kartki, zresztą przeliczysz pewnie sam.

janek: Dzięki Mila, też już wiem, gdzie popełniałem błąd, nie mnożyłem przez n² przy podstawieniu do warunków początkowych

Mila: Dobranoc Panowie

Mariusz: Adam przedstawił tutaj metodę funkcji tworzących Ta metoda nie dość że ma szerszy zakres stosowania to jeszcze każdy krok obliczeń wynika z poprzedniego Jeśli upieramy się na równanie charakterystyczne to może w ten sposób Jednorodne sprowadzamy do układu równań rekurencyjnych Układ ten rozwiążemy licząc potęgę macierzy Do obliczenia potęgi macierzy może być przydatny pewien rozkład macierzy Z wpisów jc można było wywnioskować że nie potrafi przedstawić sposobu dokonania tego rozkładu macierzy Równanie charakterystyczne pojawi się tutaj przy liczeniu wartości własnych które mogą być przydatne do znalezienia tego rozkładu macierzy Gdy będziemy mieli rozwiązanie ogólne równania jednorodnego to aby znaleźć rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego uzmienniamy stałe Też rozwiązujemy układ równań jak w przypadku równania różniczkowego ale zamiast wrońskianu mamy casoratian a zamiast całkować sumujemy Ta metoda wymaga mniej zgadywań niż przewidywanie a poza tym występuję pewne analogie do równań różniczkowych które później mogą być przydatne