zadanie Adamm: fajne zadanie θ(n) − liczba dzielników n a₁∊ℕ, a₁≥2 a_n=θ(a_n−1) znajdź granicę lim_n→∞ a_n

kochanus_niepospolitus: wynosi 2 bez względu na wartość a₁ > 2: a_n < ... < a₃ < a₂ < a₁ jeżeli a_n ∊ P to a_n+1 = 2 co także jest liczbą pierwszą i ∀_m>n a_m = a_n+1 = 2 jeżeli a₁ = 2 to mamy już liczbę pierwszą i lecimy wniosek.

Adamm: no trochę dziurawe to rozumowanie np. θ(n)<n ? nieprawda druga rzecz, co jeśli a_n=1 ? wtedy dla każdego m>n mamy a_m=1 granica może być równie dobrze równa 1

kochanus_niepospolitus: θ(n) < n to jest oczywiste dla n>2 θ(3) = 2 θ(4) < 4 ... ponieważ 4 musiało by być podzielne przez 1,2,3 i 4 Druga sprawa ... bardzo łatwo wykazać, że każda dowolna liczba 'n' (n>2) posiada największy

	n
dzielnik (pomijając samo n), który jest nie większy niż		.
	2

	n
Co oznacza, że liczba θ(n) ≤		+ 1 < n (dla n>2)
	2

kochanus_niepospolitus: niech p ∊ P (liczba pierwsza) θ(p) = 2 ... ponieważ mamy dzielniki: 1 i p dlatego a_m > 1, ponieważ a₁ ≠ 1, a liczba naturalna większa od 1 ma co najmniej tyle dzielników co liczba pierwsza, czyli co najmniej 2.

kochanus_niepospolitus: oczywiście o 15:14 mówię o liczbach naturalnych n (n>2)

Adamm: teraz się zgadzam

Adamm:

kochanus_niepospolitus: tak naprawdę to oszacowanie z 15:14 jest kluczem do wykazania, że ten ciąg będzie ciągiem malejącym, aż do momentu gdy trafimy na a_n−1 = p ∊ P