dla jakich parametrów Kamil: Wyznaczyc wszystkie wartosci parametru a, dla ktorych zbior wektorow B jest baza przestrzeni Rⁿ B={(a,2−a)(a+2,3)} jak to zrobić?

Kamil: oczywiście n=2

jc: 3a ≠ (2−a)(a+2)

Kamil: jak do tego dojść? aby wektory były bazą to muszą być liniowo niezależne oraz generują przestrzeń. czyli aby sprawdzić że są liniowo niezależne to robimy: α(a,2−a)+β(a+2,3)=(0,0) otrzymujemy macierz a a+2 |0 2−a 3 |0 Czyli musi być 1 rozwiązanie. Czyli r(a)=r(u)=n gdzie n to liczba niewiadomych. czyli 2−a+3≠0 oraz 2a+2≠0 dobrze myślę?

jc: Wektory nie mogą być do siebie równoległe, czyli nie może zachodzić równość 3a = (2−a)(a+2).

Kamil: nie rozumiem jak dojść do tego co napisałeś. mógłbyś wytłumaczyć dość prostym językiem?

iteRacj@: bardzo jasno jest to pokazane w takim filmiku od 5:43 https://www.youtube.com/watch?v=k7RM-ot2NWY

Kamil: A dlaczego mój sposób jest zły?

jc: Nie jest zły, przynajmniej do pewnego miejsca. Użyję liter x, y zamiast α, β, aby nie a nie myliło się z α. Rozwiązujemy równanie

	a 2−a		a+2 3		0 0
x		+ y		=		.

Jeśli układ ma tylko jedno rozwiązanie: x=y=0, to powiemy, że wektory są liniowo niezależne. a x + (a+2)y=0 /3 /−(2−a) (2−a)x + 3y = 0 /−(a+2) /a Mnożysz i dodajesz. [3a−(2−a)(a+2)]x = 0 [3a−(2−a)(a+2)]y = 0 Jeśli 3a−(2−a)(a+2) ≠ 0, to mamy x=y=0. W przeciwnym wypadku znajdziemy niezerowe rozwiązania (sam je znajdź).

Kamil: dzięki już jaśniej. mam jeszcze takie pytanko. z poprzednich postów wziąłeś to równanie z obliczania wykładnika tej macierzy czyli na krzyż a*3−(2−a)(a+2)≠0 dlaczego wykładnik nie może równać się 0? co się dzieje z układem gdy wykładnik =0 a co się dzieje gdy jest różny od 0?

jc: To wyznacznik, nie wykładnik. a²+3a−4=0 a=1 lub a = −4 a=1 x+3y=0 x+3y=0 niezerowe rozwiązanie, np. y=1, x=−3. a=−4 −4x − 2y = 0 6x + 3y = 0 2x+y=0 2x+y=0 niezerowe rozwiązanie, np. x=1, y=−2.

Kamil: ale jest jakieś twierdzenie że aby wektory były bazą to wyznacznik musi być różny od zera? bo wiem że muszą być liniowo niezależne i muszą generować przestrzeń. co udowadniamy tym że wyznacznik jest różny od zera? chciałbym sobie w głowie poukładać tą abstrackję

jc: Wektory tworzące wyznacznik są liniowo niezależne ⇔ wyznacznik ≠ 0.

Kamil: a czy jest to warunek wystarczający czy konieczny? czy jeżeli wyznacznik jest różny od 0 to wektory są liniowo niezależne, czy mogą być niezależne?