calka Leszek: Oblicz calke: ∫ dx / x²√x²−4

Leszek: jestem w momencie ^sin(z)₄ + C gdzie z = arcsec(^x₂) i w tym momencie nie rozumiem jak kalkulator to przekształcił jak obliczyć sin(arcsec(^x₂) ?

jc: x = 2 ch t dx = 2 sh t

	dt		1		1		√x2−4
∫ = ∫		=		th t =
	4 ch2 t		4		4		x

Mariusz: Można przez części

	1		1		−4+x2−x2
∫		dx=−		∫		dx
	x2√x2−4		4		x2√x2−4

	1		√x2−4		1		1
=−		∫		dx+		∫		dx
	4		x2		4		√x2−4

	1	√x2−4		1		1		1		1
=			−		∫		dx+		∫		dx
	4	x		4		√x2−4		4		√x2−4

	1	√x2−4
=			+C
	4	x

Jak chcemy podstawiać to może podstawienie √x²−4=t−x x²−4=t²−2tx+x² −4=t²−2tx 2tx=t²+4

	t2+4
x=
	2t

	2t(2t)−2(t2+4)
dx=		dt
	4t2

	t2−4
dx=		dt
	2t2

	2t2−t2−4		t2−4
t−x=		=
	2t		2t

	4t2	2t	t2−4
∫				dt
	(t2+4)2	t2−4	2t2

	4t		2
∫		dt=−		+C
	(t2+4)2		t2+4

	2		2t	1
−		=−
	t2+4		t2+4	t

	2		1
−		=−		+C1
	t2+4		x(x+√x2−4)

	2		x−√x2−4
−		=−
	t2+4		x(x+√x2−4)(x−√x2−4)

	2		x−√x2−4
−		=−		+C1
	t2+4		x(x2−(x2−4))

	2		x−√x2−4
−		=−		+C1
	t2+4		4x

	2		1	√x2−4		1
−		=			−		+C1
	t2+4		4	x		4

	1		1	√x2−4
∫		dx=			+C
	x2√x2−4		4	x

	1
arcsec(x)=arccos(		)
	x

	π		1
arcsec(x)=		−arcsin(		)
	2		x

ale tutaj jedynka trygonometryczna może ci się bardziej przydać