szereg Misiek: Zbadaj zbieżność szeregu:

	n+2n+3
∑(		)n2
	2n

Widze, ze cos zapis szwankuje to napisze słownie. W liczniku: n+2 przez n+3; W mianowniku: 2 do potęgi n−tej. I to wszystko do potęgi n² Wiem, ze to trzeba zrobić z kryterium Cauchy'ego, z tym ze w pewnym miejscu nie wiem co dalej zrobic.

jc:

	2+n
[		2−n ]n2 ≤ 2−n3, szereg zbieżny.
	3+n

Misiek: Skąd masz 2⁻n? Ja sie zatrzymalem na momencie (2ⁿ(n+2)/(n+3))ⁿ Możesz zastosować kryterium Cauchy'ego? Bo widze, ze chyba tego nie zrobiles.

Misiek: Tam miało być skąd masz 2ⁿ

jc: Napisałeś 2ⁿ w mianowniku. Przepisałem, aby poprawić czytelność. Jeśli 2ⁿ jest w liczniku, to szereg jest rozbieżny.

Misiek: Nienie, tak jak pisałem. W liczniku jest n+2/n+3, w mianowniku 2ⁿ. I to wszystko to potęgi ⁿ². Zgadza sie, ze szereg jest zbiezny. Ale po prostu jezeli jest taka mozliwosc chcialym miec to rozwiazane według kryterium Cauchy'ego. Czyli ⁿ√an

jc: NAWIASY! n+2/n+3 = n+3 + 2/n, a jak pamiętam, nie tak było w zadaniu. [dⁿ²]^1/n = dⁿ

Misiek: Nie rozumiem o co Ci kompletnie chodzi, jakie nawiasy. Wydaje mi sie, ze dobrze to wszystko napisalem. Wiem jak korzystac z prawa Cauchy'ego. Po prostu po zastosowaniu nie wiem co dalej zrobić. Stanąłem własnie na tym momencie dⁿ. Zastosował bym twierdzenie o granicy "e", ale w mianowniku 2ⁿ komplikuje wszystko.

Misiek: Tak jak napisałem w pierwszym poście. W liczniku jest (x+2) PRZEZ (x+3). W mianowniku jest 2ⁿ. Caly licznik i mianownik czyli dajmy na to Twoje d do potęgi ⁿ²

Misiek: Do potęgi ⁿ² ****

Misiek: Matko, zas nie tak ⁿ² . Słownie: Do potęgi n kwadrat.

Misiek: Może ktos poradzić?

jc: Za pierwszym razem napisałeś (n+2)/(n+3). Za drugim razem n+2/n+3. Podstaw n=1. (1+2)/(1+3)=3/4 ale 1+2/1+3=1+2+3=6. Chyba widzisz różnicę. 2*4+1=8+1=9, 2*(4+1)=2*5=10. Są pewne umowy, które mówią coś o kolejności wykonywania działań.

Misiek: To prawda , ze jest roznica, maja byc tam nawiasy jak juz chcesz byc taki dociekliwy. Nawet w przykladach nie ma tak tego opisanego, ale wiadomo ze chodzi o nawias W kazdym razie przyklad jest taki jak w 1 poscie napisalem. Czy moze ktos to zrobić za pomoca kryterium Cauchy'ego, poniewaz zatrzymalem sie w miejscu z wpisu z godziny 14;35..

Misiek: Najlepiej, to wstawie zdjecie przykladu....https://zapodaj.net/32a981ab95bb2.png.html

jc: (a_n)^1/n ≤ 2⁻ⁿ² →0 < 1, a więc szereg jest zbieżny. Spójrz na wpis z godziny 00:08.

Misiek: Nie rozumiem tego.... Skąd wziąłeś to ≤ 2⁻n² <−−−−

	n+2
Rozumiem ze zapisałeś sobie to tak, że (		*2−n)n i co dalej? (nie potrafie zrobic w
	n+3

potedze minusa, wybacz)

jc:

n+2
	< 1
n+3

n+2
	2−n < 2−n
n+3

	n+2
[		2−n]n2 < (2−n)n2=2−n3
	n+3

Misiek: Strasznie dziwny sposob rozwizywania, tzn. calkiem inny od tych przykaldow ktore rozwiazywalem przedtem. Ja tam liczyłem granicę tego, a nie przyjmowałem sobie ze to jest mniejsze bądź wieksze od 1. Bo teraz nie mam policzonej konkretnej granicy, tylko przyjales sobie ze to jest mniejsze od 1.

jc: Znasz twierdzenie o 3 ciągach?

	n+2
0 < [		2−n]n < 2−n2 →0
	n+3

	n+2
Wniosek. [		2−n]n →0.
	n+3

Misiek: Znam. Czyli inaczej sie tego nie da zrobic?

jc: Można od razu powiedzieć, że granica = 0.