liczby niewymierne klementynaaa: A jak mam wykazac, ze liczba ³√10 jest niewymierna? : (

Adamm: W(x)=x³−10 nie ma pierwiastków wymiernych

klementynaaa: Ale to ja musze zrobic z tym p/q raczej : (

PW: Tak samo jak poprzednio. Założenie: lczby p i q są względnie pierwsze. Przypuśćmy, że

	p
(1) 3√10 =		.
	q

Po podniesieniu stronami do potęgi trzeciej otrzymamy

	p3
10 =		.
	q3

(2) 10q³=p³ Jeżeli w rozkładzie na czynniki pierwsze lewej strony jest tylko jedna "2", to (3) p³=2k dla pewnej liczby naturalnej k, która nie ma w rozkładzie liczby 2. Jest to niemożliwe − prawa strona (3) miałaby w rozkładzie tylko jedną "2", zaś lewa − wcale lub co najmniej trzy. Jeżeli w rozkładzie na czynniki pierwsze lewej strony (2) jest więcej niż jedna "2", czyli q=2m dla pewnej liczby naturalnej m, to otrzymujemy sprzeczność z założeniami odnośnie p i q − zarówno q jak i p miałyby w rozkładach na czynniki pierwsze czynnik "2", a więc liczby p i q nie byłyby względnie pierwsze. Wykazana sprzeczność oznacza, że przypuszczenie (1) było fałszywe, czyli liczba ³√10 nie jest wymierna.

klementynaaa: PW: A mogę skorzystac z tego, że p/q jest ulamkiem nieskracalnym i wtedy: q³=100k³ zamiast z tego rozkładu? : )

PW: Nie rozumiem skąd q³=100k³. Jeżeli chcemy wymieniać poglądy, to musimy przyjąć te same oznaczenia.

Adamm: twierdzenie: Jeżeli liczba naturalna jest m−tą potęgą liczby wymiernej, to jest też m−tą potęgą liczby naturalnej (dla naturalnych m). dowód: Załóżmy, że liczba naturalna n jest m−tą potęgą liczby wymiernej p/q. Możemy tu oczywiście założyć, że q jest liczbą naturalną i że liczby p i q są względnie pierwsze. Skoro n=(p/q)^m, to nq^m=p^m, skąd q|p^m wobec twierdzenia 5 (Liczba dzieląca iloczyn dwóch liczb i pierwsza względem jednego z czynników jest dzielnikiem drugiego czynnika.) i uwagi, że (p, q)=1, jest to możliwe tylko w razie q=1, skąd n=p^m. c. b. d. o. − dowód W. Sierpiński wniosek: pierwiastek m−tego stopnia z liczby naturalnej, która nie jest m−tą potęgą liczby naturalnej, jest liczbą niewymierną. kolejne potęgi 3 stopnia 1, 8, 27, i coraz większe 10 nie jest potęgą 3 stopnia, zatem ³√10 jest niewymierne

to ja!!!!!!!!!!!!: 10q³=p³, wiec p³ jest podzielne przez 10, czyli p jest podzielne przez 10 wiec p=10k (10k)³=10q³ 1000k³=10q³ q³=100k³ , zatem q³ jest podzielne przez 100, czyli q jest podzielne przez 100 wiec p/q jest ulamkiem skracalnym, co jest sprzeczne z zalozeniem, bo p/q ma byc ulamkiem nieskracalnym, czym udowodnilismy niewymiernosc liczby pierwiastek z 10 stopnia 3 moze tak byc ? : )

to ja!!!!!!!!!!!!: http://www.traugutt.miasto.zgierz.pl/matma/niewymierne.html

PW: Te wykrzykniki to z zachwytu nad sobą? Oba dowody są w gruncie rzeczy takie same. Nie jest istotne, o którym czynniku mówimy − o liczbie 10, czy o liczbie 2.

to ja: W życiu, to nie z zachwytu nad sobą... Po prostu wyszedł taki pseudonim. I dziękuję za pomoc. : )