Granica dwóch zmiennych Bartek: Witam serdecznie. Otóż mamy dwa przykłady: a)

	y2
lim (x,y)−>(1,0)
	x2−1

Liczę z definicji:

	1
Xn = 1+		−> 1
	n

	1
Yn =		−> 0
	n

Granica wynosi 1 Następnie:

	2
Xn = 1−		−> 1
	n

	−2
Yn =		−> 0
	n

Tutaj również wychodzi mi 1. Mam nadzieje, że się nie pomyliłem. Co dalej? Gdyby były różne, to wiadomo że nie istnieje, a teraz nie wiemy. Jak dalej liczyć? b)

	y4
lim (x,y)−>(0,0)
	x2 −1

	1
Xn =
	n

	−1
Yn =
	n

a następnie:

	1
Xn =
	n

	2
Yn =
	n

Tutaj oby dwie iterowane wyszły mi 0. Następie podstawi Xn = Yn = 1/n i wyszło mi 0, to znaczy że granica istnieje i jest równa 0? Poczytałem też o współrzędnych biegunowych i spróbowałem:

y4		r4sin4α		1
	= lim(r−>0)		= r2*sin4α *		= 0
x2−1		r2cos2α −1		cos2α −1

bo r−>0. Czy to liczenie jest poprawne? I czy ono daje nam gwarancje że granica równa się 0? Pozdrawiam

Bartek: Halo, pomoże ktoś?

jc: Granica powinna istnieć i być taka sama dla każdego ciągu zbieżnego do (1,0). x_n = 1+1/n y_n = 1/n

1/n2		1
	=		→0
(1+1/n)2−1		2n+1

x_n = 1+1/n y_n = 1/√n

1/n		n
	=		→1/2
(1+1/n)2−1		2n+1

Granica nie istnieje!

Bartek: Dziękuje, widzę że zrobiłem bład w obliczeniach. Zerknijmy dalej, mam jeszcze taki przykład:

	(x−1)2
lim(x,y)−>(1,0)
	y

Xn = 1+1/n Yn = 1/n

	(x−1)2		1
lim(x,y)−>(1,0)		=		−>0
	y		n

Xn = 1+1/n Yn = 2/n

	(x−1)2		2
lim(x,y)−>(1,0)		=		−>0
	y		n

Tutaj dwie granice wyszły równe zero, jak dalej liczyć? Pozdrawiam

jc: Weź takie ciągi: x_n=1+1/n i y_n = 1/n².

Adamm: albo np. y=x−1 y=(x−1)² tak też można gdyby granica istniała, to byłaby równa

Bartek: Oki, teraz wychodzą różne.. jak się nie wpadnie na inny ciąg to można zrobić źle zadanie, jakiś protip? Jakiś przykład jak dalej liczyć gdyby w granicy dążącej np do (1,0) wyjdą takie same granice? I raczej ostatni przykład:

	y4
lim(x,y)−>(0,0)
	x2 −1

Xn = 1/n −> 0 Yn = −1/n −> 0

1
	−> 0
(1/n2−1)n4

Xn = 1/n −>0 Yn = 1/ ⁴√n −>0

1
	−> 0
(1/n2 −1)n4

Nawet jak zmieniałem Yn na inne nadal dążyło do 0. Co dalej? Dziękuje za pomoc!