Funkcje cyklometryczne Jacek: Witam, bardzo bym prosił o rozwiązanie przynajmniej części poniższych zadań. Prowadząca zrobiła z nami jeden przykład, nie tłumacząc przy tym w zasadzie nic po czym zadała 'zadanie domowe' + kolokwium z podobnych przykładów. Nie potrafię się w zasadzie nawet do tego zabrać a analiza rozwiązanych już zadań dużo mi daje. Jeśli pojawią się zależności/wzory które obowiązkowo muszę znać to również bardzo bym prosił o zaznaczenie tego. Serdecznie pozdrawiam i z góry dziękuje!

	x − 2
1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x) = arcsin
	1 − 3x

2. Obliczyć: a) 3arcsin 1 − 2arccos 0 + 4arctg 1 − arcctg (−1)

	1		7
b) 2arccos (−		) + arctg(tg		π) − arctg √3
	2		8

c) arcsin(sin10) 3. Rozwiązać równania: a) arcsin 3x = arcsin 4x = α

	π
b) arctg(x+2) − arctg(x+1) =		<−− dodatkowe informacje do zadania "układ 3 równań";
	4

arctg(x+2) = α, arctg(x+1) = β.

Jerzy:

	1		x − 2
1) x ≠		i |		| ≤ 1
	3		1 − 3x

'Leszek: 2). a)∊ 3*π/2 −2*π/2 +4*π/4 − 3π/4= ...... b) 2*2π/3 + 7π/8 − π/3 = ...... c) 10

Sqrti: 2) a)

	π		π		π		π
3arcsin(1) − 2arccos(0) + 4arctg(1) − arcctg(−1) = 3*		− 2*		+ 4*		−
	2		2		4		4

Polecam, abyś sobie włączył jakiś kalkulator graficzny, jak na przykład desmos.com, i sam zobaczył jak te funkcje wyglądają. Generalnie to są funkcje odwrotne do sin(),cos(),tg() i ctg() i aby znaleźć wartość arcsin(1) zadajesz sobie pytanie "Dla jakiego argumentu x, sin(x) przyjmuje wartość 1?" odpowiedzią na

	π
to pytanie jest		i taką wartość przyjmuje arcsin(x) dla x = 1
	2

PW: 3 c) arcsin to funkcje odwrotna do sin, więc arcsin(sinx) = x,

	π		π
ale pod warunkiem, że x jest z przedziału [−		,		] (patrz definicja funkcji
	2		2

arcsin). Trzeba więc ten argument "10" zredukować korzystając z okresowości funkcji sin. Wiemy, że 10=3π+d,

	π
gdzie d jest liczbą mniejszą niż 1, a więc mniejszą niż		. Wobec tego
	4

sin10=sin(3π+d) = sin(2π+π+d) = okresowość=sin(π+d) = (wzory redukcyjne)= −sind = (nieparzystość) = sin(−d)

	π		π
Liczba (−d) należy do przedziału [−		,		], tym samym
	2		2

arcsin(sin10) = arcsin(sin(−d)) = −d = 3π−10. Sprawdzić możesz licząc kalkulatorem Windows (jednostki trzeba ustawić na radiany): sin10 ≈ −0,5440 arcsin(−0,5440)≈−0,57522 i również 3π−10 = −0,57522

Jacek: Dziękuje bardzo za pomoc. Czy mógłbym jeszcze prosić o rozwiązanie 3 zadania? W szczególności podpunkt b) z tym 'układem równań'.

Mila: 3(b)

	π
arctg(x+2) − arctg(x+1) =
	4

	π		π
1) arctg(x+2)=α i α∊(−		,		)⇔x+2=tgα⇔x=tgα−2
	2		2

	π		π
2) arctg(x+1) =β i β∊(−		,		)⇔x+1=tgβ⇔x=tgβ−1 stąd:
	2		2

3) tgα−2=tgβ−1 tgα=tgβ+1

	π
4) tg(α−β)= tg
	4

tg(α−β)=1 z wzoru:

	tgα−tgβ
tg(α−β)=
	1+tgα*tgβ

Podstawiamy:

	tgβ+1−tgβ
tg(α−β)=
	1+(tgβ+1)*tgβ

	1
Z (4)		=1
	1+tg2β+tgβ

tg²β+tgβ+1=1 tg²β+tgβ=0 tgβ=0 lub tgβ=−1 x=0−1 lub x=−1−1 x=−1 lub x=−2 =============