podprzestrzeń liniowa kamil: Czy zbiór W={(x,y,z)∊R³ | x+2y−z=1} jest podprzestrzenią lioniową przestrzeni R³ zrobiłem to tak: w₁≠∅ gdyż np (1,1,2)=1 w₁=(x₁+2₁−z₁)=1 oraz w₂=(x₂+2y₂−z₂)=1 w₁+w₂=(x₁+x₂,2y₁+2y₂,−z₁−z₂)→(x₁+x₂)+(2y₁+2y₂)+(−z₁−z₂)=1 (z₁+2y₁−z₁)+(x₂+2y₂−z₂)=1 1+1=1 sprzeczność. Więc W nie jest podprzestrzenią linową przestrzeni R³. Co sądzicie o tym dowodzie? dobrze? źle?

jc: Podprzestrzeń powinna zawierać wektor 0=(0,0,0), ale (0,0,0) nie należy do W, bo 0+2*0−0=0≠1. Zatem W nie jest podprzestrzenią.

kamil: a moje rozwiązywanie na około jest dobre?

jc: A co myślę o Twoim dowodzie? w₁ ≠ ∅ − nie rozumiem. Co to jest w₁ ? (1,1,2)=1 − dlaczego trójka liczb jest równa pojedynczej liczbie? oczywiście możemy oznaczyć jakąś operację w ten sposób, ale w tekście nic nie ma na ten temat. w₁ + w₁ = (...), w tak dziwny sposób definiujesz dodawanie wektorów? itd. itd.

kamil: zamiast W₁ powinno być W po prostu. A dalej udowadniam że ten zbiór jest niepusty, więc podaję przykład elementu który należy do zbioru. co do dodawania wektorów, to miałem tak na zajęciach

jc: Wszystko mieszasz. Przeczytaj powoli, co napisałeś, zobaczysz, że to bez sensu. (1,1,2)=1. Co to oznacza? Dalej wcale nie lepiej.

kamil: (1,1,2)∊W więc udowadniam że W nie jest zbiorem pustym. co dalej jeszcze jest niepewne?

jc: No to trzeba było tak napisać, a nie (1,1,2)=1. A co oznacza druga linia? w₁=(x₁+2y₁−z₁)=1, po prawej stronie masz liczbę!

kamil: trochę przyśpieszenie zrobiłem chodziło mi że biorę 2 wektory w₁=(x₁,y₁,z₁) oraz w₂=(x₂,y₂,z₂) i wynika z tego że x₁+2y₁−z₁=1 raz x₂+2₂−z₂=1

jc: Z tego, że bierzesz dwa wektory to akurat nie wynika. Nie napisałeś, że bierzesz dwa wektory ze ze zbioru W. Dalej też widać dziwne rzeczy. Chciałeś po prostu napisać, że suma żadnych dwóch wektorów z W, nie należy do W.

kamil: to jak to udowodnić, innym sposobem niż sprawdzenie że wektor 0 nie należy do tego zbioru?

jc: To co prawdopodobnie usiłowałeś przekazać można było tak napisać: Wektor (1,1,2) należy do W, bo 1+2*1−2=1. Jednak wektor (1,1,2)+(1,1,2) = (2,2,4) nie należy do W, bo 2+2*2−4=2 ≠ 1. Dlatego W nie jest podprzestrzenią R³.