Zbadać zbieżność ciągu korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ogr. KuririnSSJ4:

	1		2		3		n
an =		+		+		+ ... +
	2		22		23		2n

Widać, że jest rosnący (z tym sobie poradziłem) i nieograniczony z góry, ale nie wiem jak wykazać nieograniczoność. Mógłbym Was prosić o pomoc?

kochanus_niepospolitus: A dlaczego nie jest ograniczony z góry Bo jakoś tego nie widzę.

g: Ten ciąg ma granicę = 2.

	1
Jeśli oznaczymy S = ∑		= 1 (sumowanie od 1 do ∞)
	2n

to a_n → S + S/2 + S/4 + S/8 + ..... = 2

KuririnSSJ4: Hmm... Po dłuższych przemyśleniach może być ograniczony z góry przez 2, ale wciąż nie wiem jak to udowodnić. Zał. jeżeli a_n<2 to a_n+1<2

	1		2		n		n+1		n+1
L= an+1 =		+		+ ... +		+		= an +		<
	2		22		2n		2n+1		2n+1

	n+1
2 +
	2n+1

iii dalej nie mam pojęcia jak zrobić. O ile dobrze w ogóle robię.

KuririnSSJ4: Nie rozumiem skąd wzięło się to rozwiązanie, Panie g Mógłbym prosić o wytłumaczenie?

	S
Czemu wyznaczamy S, a potem robimy z tego szereg ∑		?
	2n

g: a_n = 1/2 + 1/2² + 1/2³ + ..... + 1/2ⁿ + 1/2² + 1/2³ + ..... + 1/2ⁿ + 1/2³ + ..... + 1/2ⁿ + ..... + 1/2ⁿ

KuririnSSJ4: No ok, mniej więcej czaję Dzięki wielkie ^^

Mariusz: a₀=0

	n
an=an−1+
	2n

∑_n=0^∞a_nxⁿ=A(x)

	n
∑n=1∞anxn=∑n=1∞an−1xn+∑n=1∞		xn
	2n

	n
∑n=0∞anxn=x(∑n=1∞an−1xn−1)+∑n=1∞		xn
	2n

	n
∑n=0∞anxn=x(∑n=0∞anxn)+∑n=1∞		xn
	2n

	1		1
∑n=0∞		xn=
	2n		1   1− x   2

d		1		d		1
	(∑n=0∞		xn)=		(		)
dx		2n		dx		1   1− x   2

	n		1	−1
∑n=0∞		xn−1)=−
	2n		1   (1− x)2   2	2

	n		1	x
∑n=1∞		xn)=
	2n		2	1   (1− x)2   2

	1	x
A(x)=xA(x)+
	2	1   (1− x)2   2

	1	x
A(x)(1−x)=
	2	1   (1− x)2   2

	1	x
A(x)=
	2	1   (1−x)(1− x)2   2

1	x		A		B		C
		=		+		+
2	1   (1−x)(1− x)2   2		1−x		1   1− x   2		1   ((1− x))2   2

	1		1		1
A(1−		x)2+B(1−x)(1−		x)+C(1−x)=		x
	2		2		2

	1		3		1		1
A(1−x+		x2)+B(1−		x+		x2)+C(1−x)=		x
	4		2		2		2

A+B+C=0

	3		1
−A−		B−C=
	2		2

1		1
	A+		B=0
4		2

A +B+C=0 2A+3B+2C=−1 A+2B=0 −B +C=0 −B+2C=−1 A=−2B C=B −B+2C=−1 A=−2B C=B B=−1 A=−2B A=2 B=−1 C=−1

	2		1		1
A(x)=		−		−
	1−x		1   1− x   2		1   (1− x)2   2

	1
an=2−(n+2)(		)n
	2

	1
limn→∞2−(n+2)(		)n= ?
	2