zbieżność ciągu janek: Pokaż, że ciąg o wyrazie an = (1+¹₂)(1+¹₄)(1+¹₈)*...*(1+¹_2ⁿ) jest zbieżny

jc: Ciąg rosnący i ograniczony jest zbieżny. Rozważany ciąg jest rosnący. Pokażemy teraz, że jest ograniczony. (1+1/2)(1+1/4)(1+1/8)...(1+1/2ⁿ)

	(1+1/2)+(1+1/4)+(1+1/8)+...+(1+1/2n)
≤ [		]n
	n

	n + 1−1/2n		n+1
= [		]n ≤ [		]n ≤ e
	n		n

Wykorzystałem nierówność pomiędzy średnimi (obie strony podniosłem do n−tej potęgi).

janek: Nie rozumiem pierwszego przejścia, skąd wiemy, że każdy wyraz tego ciągu jest mniejszy bądź równy od tej dziwnej sumy podzielonej przez n i jeszcze całość podniesiona do potęgi n :c

janek: Jejku, przepraszam, nie doczytałem, że korzystasz z nierówności Cauchy'ego, wszystko się zgadza, ale trochę ciężko moim zdaniem było na to wpaść, zna ktoś łatwiejszy/bardziej "uniwersalny" sposób?

Adamm: lna_n=ln(1+1/2)+ln(1+1/4)+...+ln(1+1/2ⁿ) ln(1+x)≤x lna_n≤1/2+1/4+...+1/2ⁿ=1−1/2ⁿ<1 a_n<e

janek: Też ciekawe

janek: Dzięki wam wielkie <3

Adamm: dzięki