ogranicznosc ciagu Misiek: Możecie mi powiedziec jak sie bada ograniczność ciągu liczbowego z definicji? Czyli że |x_n|<M gdzie M należy do R. Na przykład mam taki przykład. ⁿ√4ⁿ+cos(2n) Wiec należy pokazać, że ten |....|<M. Mam tutaj rozwiązanie tego: Ponieważ |ⁿ√4ⁿ+cos(2n)|<pn{4ⁿ+1 < ⁿ√5ⁿ = 5 Zatem ⁿ√4ⁿ+cos(2n)<5 a to oznacza, ze badany ciag liczbowy jest ograniczony. Rozumiem, ze zastosowalismy tutaj to, że −1<sinx<1, czyli po prostu tam gdzie jest cos(2n) to za 2n podstawilismy 1. Ale jak zatem rozawiązać taki przykład ⁿ√4ⁿ+7ⁿ+9ⁿ Wsziędzie powinno być że jest mniejsze bądź równe, ale nie potrafie tutja tego zapisac

Adamm: ⁿ√4ⁿ+1≤ⁿ√5ⁿ !

Adamm: nie widziałem że napisałeś na końcu, nieważne

Adamm: ciąg zbieżny jest ograniczony <− znany fakt

Adamm: patrz, dowód tego faktu https://www.matematyka.pl/66302.htm

Misiek: No tak, jezeli ciag jest ogranicznony i monotoniczny to jest zbiezny. Czyli mam obliczyc granicę ciągu i później ograniczność? Nie rozumiem.

Misiek: W moim przykładzie na mocy twierdzenia o trzech ciągach granicą będzie 9 i to jest ta ograniczność?

Adamm: nie rozumiem raczej nie umiem czytać naucz się czytać

Misiek: Zgubiłem się No tak, warunek konieczny zbieżności to jest ograniczność ciągu. Pomylilem warunek wystarczajacy z koniecznym Ale nie rozumiem o co chodzi Mam obliczyć zbieżność ciągu i to jest ta ograniczność? Jezeli granicą mojego przykładu na mocy twierdzenia o trzech ciągach jest g=9, to to jest ta ograniczność?

jc: Przypomniało mi się takie zadanie.

	2+xn
x1=0, xn+1=
	1−2xn

Czy ciąg jest dobrze określony? tzn. czy może się zdarzyć, że x_n=1/2. Czy ciąg jest ograniczony?

Misiek: Wlasnie ptrzylem wczoraj na tego typu zadania, gdzie trzeba bylo wykazac zbieznosc ciagu, czyli trzeba było wykazac ogranicznosc ciagu jak i monotonicznosc. Czy to o to chodzi?

Adamm: to może nie jest z definicji, ale jeśli ciąg jest zbieżny, a można wykazać że jest zbieżny posługując się twierdzeniem o 3 ciągach oraz znanymi granicami, twierdzeniami o arytmetyce ciągów to jest ograniczony ciąg jest zbieżny ⇒ jest ograniczony tak jak powiedziałeś, to jest warunek konieczny warunek konieczny oznacza dokładnie tą implikację, ta implikacja oznacza że "ciąg jest ograniczony" jest warunkiem koniecznym na to by "ciąg jest zbieżny" przeczytaj to i więcej się nie pytaj, bo to już wszystko co musisz zrozumieć, co ci chciałem powiedzieć

Misiek: Ale ja to rozumiem doskonale, ze jezeli ciag jest zbiezny to jest ograniczony, ale ja mam obliczyć tą ograniczność a nie wykazać, że jest. Pytam sie czy dobrze to rozumuje, ze jesli na mocy twierdzen o 3 ciagach g=9, to to jest to ogranicznie? M=9?

Adamm: nie ma czegoś takiego jak obliczyć ograniczoność obliczyć to słowo którego używa się zbyt często niepoprawnie to jest tego przykładem

Misiek: Rozumiem. Czyli po prostu ⁿ√4ⁿ+7ⁿ+9ⁿ≤ⁿ√9ⁿ≤9 Zatem ⁿ√4ⁿ+7ⁿ+9ⁿ≤9 a to oznacza, ze ciag jest ograniczony i koniec, prawda?

Adamm: o ile dla ciebie ⁿ√4ⁿ+7ⁿ+9ⁿ≤ⁿ√9ⁿ to tak ale ta nierówność nie zachodzi

Adamm: zresztą, nie rozumiem sensu obliczania wszystkiego "z definicji" to głupie, nie wszystko się da policzyć z definicji, nie wszystko trzeba liczyć z definicji, jest wiele rzeczy które są o wiele prostsze do wykazania innymi sposobami

Misiek: Odniosłem się analogicznie do przykładu, który podałem w 1 poście, a ten przykład jest z książki. Chyba, ze one sie różnią aż tak, to nie wiem może powinienm napisać, że: ⁿ√0ⁿ+0ⁿ+9ⁿ≤ⁿ√4ⁿ+7ⁿ+9ⁿ≤ⁿ√9ⁿ+9ⁿ+9ⁿ A z tego wychodzi, że granica tego ciągu to jest g=9 i dalej tak jak wyżej.

Misiek: Niestety to nie ode mnie zależy, tylko od wykładowcy Tak samo jeżeli chodzi o badanie monotoniczności ciągu to wszystko musze robić z definicji, aniżeli tak jak sie nauczylem JUZ w liceum z pochodnych.

Adamm: tak, rozumiem siły wyższe po prostu wkurza mnie takie podejście tutaj 0<a_n no więc z dołu jest ograniczony a_n≤9ⁿ√3≤9ⁿ√3ⁿ=27 i mamy już jakieś ograniczenie, co prawda duże i tak można było to tego podejść, z definicji ale tak naprawdę, ja bym się nawet nad tym nie zastanawiał, po prostu widzę że granica to 9, więc ciąg jest ograniczony

Misiek: Dobra, dzieki wielkie

jc: Adammie, a może spróbujesz moje zadanie z 13:56. Tu akurat znam odpowiedź, ale w podobnym zadaniu

	2xn
x1=2, xn+1 =
	1−xn2

odpowiedzi nie znam.

Adamm: no więc tak

	b+ax
jeśli f(x)=
	a−bx

	2ab+(a2−b2)x
to (f•f)(x)=
	a2−b2−2abx

mam tutaj jakąś analogię co do liczb zespolonych, tak mi się wydaje bo x=a+bi to x²=a²−b²+2abi może coś w tym rodzaju

Adamm: czyli ciąg

	Im(zn)
xn+1=
	Re(zn)

z_n=(1+2i)ⁿ tak on wygląda

Adamm: (1+2i)ⁿ=0 ⇒ 1+2i=0 sprzeczność dlatego jest dobrze określony

Adamm: nie wróć, źle

Adamm: Re((1+2i)ⁿ)=0 Re((1+2i)ⁿ)=|1+2i|ⁿcos(narccos(√5/5))=0 cos(narccos(√5/5))=0 narccos(√5/5)=π/2+2kπ teraz wątpię żeby równość zachodziła dla jakiegokolwiek n, ale w sumie nie wiem trzeba ustalić czy arccos(√5/5) ta się przedstawić jako pπ/q gdzie p, q to liczby całkowite

Adamm: dobrze w ogóle myślę?

Adamm: pomyłka

	Im(z2n)
xn+1=
	Re(z2n)

jc: Tak właśnie jest Drugi ciąg też dobrze rozpoznałeś.

	1		(1+2i)n − (1−2i)n
xn =
	i		(1+2i)n + (1−2i)n

x_n = tg(n atan 2) Kąt o tangensie równym 2 był współmierny z kątem pełnym. Wydaje mi się, że pisałeś o tym kiedyś. Znamy odpowiedź. Ciąg nieograniczony, ale wyjaśnienie wymaga dłuższego rozumowania. Co do drugiego ciągu, odpowiedzi nie znam. Z tym zerem w mianowniku, to bym się jeszcze zastanowił. (1+2i)ⁿ = (1−2i)ⁿ ? (1+2i)²ⁿ = 5ⁿ

Adamm: jeśli chodzi o ten drugi ciąg, to on chyba nie spełnia? nie powinno być x_n=tg(2ⁿatan2) ? bo mamy wzór na tg2x

jc: Nie wiem, czy ciąg x_n=tg(2ⁿ atan 2) jest ograniczony. Tu w ogóle nie ma problemu z mianownikiem. x_n=±1, oznacza, że x_n−1 = ±1±√2, a to liczba niewymierna Tam wcześniej oczywiście powinno być (1+2i)²ⁿ = − 5ⁿ.

Adamm: https://math.stackexchange.com/questions/79861/arctan2-a-rational-multiple-of-pi więc x_n musi być różny −1, 1

jc: Tylko kilka kątów współmiernych z pełnym kątem daje wymierny tg: 0, 45, 135, 180, 225, 315, wartości tg: 0, 1, −1.