Ciągłość jednostajna, ciąg Cauchy’ego zagubiony: To właściwie nie będzie zadanie, a pytanie. Czy może ktoś powiedzieć, jak można intuicyjnie wyczuć, czy dany ciąg będzie ciągiem Cauchy’ego? Analogicznie: czy można „wyczuć” czy dana funkcja będzie ciągła jednostajnie w danym przedziale czy nie?

jc: Tak. W przypadku R ciąg jest ciągiem Cauchye'go ⇔jest zbieżny. Chodzi o to, jak rozpoznać tego rodzaju fakt, gdy mamy Q? Jak granica ∊ Q, to nie ma problem, a jak nie? Wtedy po prostu widzimy, że dalekie wyrazy leżą koło siebie, bo nie koło granicy bo jej nie ma, to znaczy jest, ale w innym świecie.

jc: Pomyśl o funkcji stałej, której wykres obniża się jak 1/n (jednostajna zbieżność). A teraz pomyśl o funkcji określonej na odcinku [0,1], której wykresem jest dla x<1/n pagórek o wysokości 1, a dalej zero. Każdy punkt spadnie do zera, ale wykres zawsze w jakimś miejscu będzie odstawał na wysokość jeden (zbieżność punktowa).

zagubiony: Na wstępie dziękuję za odpowiedź. Wydaje mi się, że nie do końca zrozumiałem drugą wiadomość. Mógłby opisać to Pan na przykładzie? Np mamy funkcje f(x)=sin(¹_x) i g(x)=√x. Jak tu można to wyczuć?

jc: Ach, bo to nie na temat było. Chodziło o jednostajną ciągłość, a nie zbieżność. ε>0. W przypadku zwykłej ciągłości, wybierasz najpierw x, a potem δ>0. Wykres może być różnie nachylony, więc czasami δ musi być znacznie mniejsza. W przypadku ciągłości jednostajnej wybierasz jedną δ>0 dla wszystkich x. Jeśli masz funkcję ciągłą na odcinku domkniętym, to tak zawsze się uda. Jeśli jednak masz prostą, półprostą, bądź odcinek bez końca, może być inaczej. Np. f(x)=x². Jak jesteś daleko od zera, mała zmiana x daje dużą zmianę f(x). Ale, gdy ograniczysz się do odcinka, już tak nie będzie (pochyłość będzie ograniczona). Podobnie z f(x)=1/x na odcinku (0,1). Tu problemem jest lewy koniec. Powiedzmy, że ε=1. Nie znajdziesz odpowiedniej δ>0, choćby δ=1/1000. Znajdziesz x₁ i x₂ odległe o mniej niż δ, takie, że f(x₁) i f(x₂) będą różnić się o więcej niż 1. Z sin(1/x) jest podobnie. Pomyśl o wykresie.

zagubiony: Rozumiem, bardzo dziękuję!