matematykaszkolna.pl
granica AM: Oblicz granicę z następującego wyrażenia:
 3n+1+1 
limn→∞
 9n−1+2n 
Wiem że jedna z ostatecznych form będzie wyglądała tak:
 3n*3 
limn→∞
 
 1 
9n*
 9 
 
 3n 
I co teraz zrobić?
dąży do zera, ale jeżeli zwiniemy 9n do 32n to wtedy całość
 9n 
dąży... w sumie też do zera. Mam jednak wrażenie że coś jest nie tak. Czy może wszystko jest ok?
23 lis 22:33
jc: Czym jest ostateczna forma? Jak byś zapisał rozwiązanie na sprawdzianie?
23 lis 22:37
AM: Zapisałbym następująco:
 3n 3 
limn→∞
*
=0
 9n 
1 
9 
 
Chyba − po prostu te potęgi mnie bardzo mylą. Ale myślę że to byłoby OK, co nie?
23 lis 22:42
AM:
 27 
Wtedy też mi wychodzi że to jest
i tutaj już bym wątpliwości nie miał.
 3n 
23 lis 22:44
jc:
 27 
A nie lepiej po prostu:
. Ale to drugi ciąg. A co z pierwszym?
 3n 
23 lis 22:45
AM: Ciąg pierwszy jest jakąś tam bardziej skomplikowaną formą tego drugiego, więc efekt jest identyczny.
23 lis 22:46
jc: To, że oba ciągi mają granice = 0 jest oczywiste. Natomiast powyższe stwierdzenie nie jest jasne, przecież to różne ciągi.
23 lis 22:53
AM: Zgadza się, jeżeli spojrzymy na to z bardzo krytycznej strony. Kilka przekształceń i otrzymujemy drugi ciąg emotka
23 lis 22:56
jc: No pokaż te przekształcenia.
23 lis 22:59
AM:
 3n+1+1 3n*3+1 
limn→∞
= limn→∞
 9n−1+2n 
 1 
9n*
 9 
 
23 lis 23:02
AM: Pardon, niechcący. Zaraz dopiszę
23 lis 23:03
AM:
 3n+1+1 3n*3+1 
limn→∞
= limn→∞
 9n−1+2n 
 1 
9n*
+2n
 9 
 
 
 1 
3n(3+
)
 3n 
 
limn→∞
 
 1 2n 
9n(
+
)
 9 9n 
 
1 2 
oraz (
)n dąża do zera, a więc mamy drugą formę.
3n 9 
23 lis 23:07
jc: Czy liczysz to dla siebie, czy będziesz pisał sprawdzian? Jeśli sprawdzian, to lepiej nie używaj pojęcia "formy". Gdzie znalazłeś takie rozważania?
23 lis 23:37
AM: Sam to zrobiłem, natomiast na sprawdzianie nic takiego nie pisze emotka. Ale ogólnie dobrze jest, tak?
23 lis 23:56
jc: Jeśli widzisz, że granicą jest zero, to nic nie musisz liczyć. Możesz używać nieznanych pojęć lub twierdzeń, ale pojawi się problem, kiedy spróbujesz rzecz pokazać innym. Może się okazać, że łatwiej trzymać się standardu, niż wyjaśniać nowe pojęcia i dowodzić dodatkowe twierdzenia. Potrafisz podać definicję równości form dwóch ciągów?
24 lis 00:05
AM: Niestety na pamięć jej nie znam, jeżeli mógłby Pan podać to byłbym wdzięczny. Ponadto wolę rozpisać takie wyrażenie, aby nauczyciel nie mial żadnych wątpliwości że potrafię rozwiązać takie równanie, a nie np.: ściągam. I dziękuję za pomoc − dawno nikt nie poświęcił tyle czasu na mój problem związany z matematyką emotka
24 lis 00:20