Przestrzeń wektorowa - niezalezność liniowa ktoś: Czy zbiór wektorów {sinx,cosx,x} jest liniowo niezależny w R^R nad R Nie rozumiem dodatkowo czemu jeśli zbiór jest w R^R (bo rozumiem, że jest to zbiór R wymiarowy tak?) czemu jest to przykładowo tylko sinx, gdy jak mamy wektor w R³ to jest on przykładowo zapisany jako (1,0,1)

jc: a sin x + b cos x + c x = 0 Podstawiamy kolejno 0, π/2, π. b = 0 a + πc/2 = 0 −b + πc=0 Stąd a=b=c, czyli wymienione funkcje są liniowo niezależne.

ktoś: Dzięki. A mógłby ktoś wytłumaczyć z tym R^R?

Milo: R^R to zbiór funkcji o dziedzinie rzeczywistej i wartościach rzeczywistych. Ogólnie Y^X = {f | f: X → Y}

ktoś: Ehh.. Czemu takie R³ oznacza (0,1,0) czyli wektor 3 wymiarowy a R^R już co innego. Tylko się miesza

Milo: Definicja Y^X obowiązuje, gdy X,Y są zbiorami. Liczba 3 nie jest zbiorem (znaczy może jest, ale to głębsza matematyka) Ale intuicja za tym jest dość dobra: R³ można utożsamiać ze zbiorem wszystkich 3−elementowych ciągów o wyrazach rzeczywistych (Jak sam napisałeś (0,1,0) − jest to przykład takiego ciągu) Czyli R³ = R^{1,2,3}

ktoś: Dzięki za wytłumaczenie

ktoś: a sin x + b cos x + c x = 0 Podstawiamy kolejno 0, π/2, π. b = 0 a + πc/2 = 0 −b + πc=0 A co do tego przykładu jeszcze To skąd wiemy, że jak podstawimy 0 czy pi/2 albo pi to będziemy mieli =0?

jc: Bo zero ma być dla każdego x, w szczególności dla wymienionych wyżej.

ktoś: Ok to zrozumiałem. Ostatnie pytanie Czemu wystarczy sprawdzić tylko dla tych 3 wartości? Nie może być przykładowo te równanie =0 spełnione dla losowego pi/457?

jc: A chciałbyś liczyć dla takie x?

ktoś: Nie chciałbym, ale warunek brzmi, że av1+bv2+cv3+... = 0 spelniony jest tylko tylko gdy a=b=c=d=...=0 Wiec gdyby dla takiego pi/457 byłoby te równanie spełnione gdy a=2, b=5, ... itd. czy nie zaprzeczyłoby to wszystkiemu?

Milo: Tylko to 0 po prawej to nie jest liczba, a funkcja stale równa 0 (element neutralny dodawania wektorów z R^R, czyli funkcji, a nie liczb z R). Oznaczę ją θ, żeby się nie myliło z 0 należącym do R Więc kiedy chcemy asinx + b cosx + cx = θ To mamy na myśli funkcję zerową, czyli taką, która ma wartość 0 dla każdego x Dlatego wystarczy podstawić te 3 wartości − bo nawet, jeśli to się zeruje dla jakiegoś przypadkowego x, to nie spełnia warunku niezależności, bo musiałoby się zerować dla każdego x. W szczególności dla tych, które podstawiamy

jc: Rozważasz kombinację 3 wektorów. a sin x + b cos x + c x = 0 Wyszło a=b=c=0? Tak więc wektory są liniowo niezależne. Wystarczyło podstawić 3 dobrze dobrane wartości x. Gdybyś jednak chciał pokazać, liniową zależność, musiałbyś pokazać równość dla wszystkich x lub skorzystać z jakiejś własności rozważanych funkcji.

Milo: Powinno być "nawet, jeśli to się zeruje dla jakiegoś przypadkowego x przy współczynnikach nie wszystkich równych 0, to jeszcze nie znaczy, że nie spełnia warunku niezależności"* Mój błąd, późno już

ktoś: Znaczy dalej nie rozumiem czemu 3 sprawdzenia dają nam pewność. Ale może jak popatrzę się w ekran jeszcze z godzinę to może coś zatrybi.