Wykaż, że liczba jest niewymierna. Lew: Wykaż, że liczba jest niewymierna. 2√3+√8

jc: x=2√3+√8 jest pierwiastkiem wielomianu f(x)=(x−2√3−√8)(x−2√3+√8)(x+2√3−√8)(x+2√3+√8) =[(x−2√3)² − 8][(x+2√3)² − 8] = [x²+4−4x√3][x²+4+4x√3] = (x²+4)²−48 = x⁴+8x²−32 Wielomian x⁴+8x²−32 nie ma pierwiastków wymiernych (sprawdzamy x²=1,4,16). Sprawdź, bo mogłem coś pomylić w rachunkach.

PW: Dla urozmaicenia inny dowód.. Niech a = 2√3+√8 b = 2√3−√8. Wówczas ab = (2√3)²−(√8)² = 12−8 = 4. Równość ab=4 oznacza, że prawdziwe jest jedno ze zdań: (1) obie liczby a i b są wymierne (2) obie liczby a i b są niewymierne. Innej możliwości nie ma, gdyż iloczyn liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierny (nie może być równy 4). Gdyby prawdziwe było zdanie (1), to suma a+b byłaby wymierna. Jest to sprzeczne z faktem, że a+b = 4√3 jest liczbą niewymierną (fakt powszechnie znany, chyba w takim zadaniu nie trzeba go wykazywać). Skoro zdanie (1) jest fałszywe, to prawdziwe jest zdanie (2), co kończy dowód.

PW: Iloczyn liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierny pod warunkiem, że liczba wymierna nie jest zerem, ale w tym zadaniu tak jest.

LWG: Załóżmy, że liczba √3±√2 = w, gdzie w jest liczbą wymierną. Zatem ±√6 = w²−5, co nie należy do zbioru zdań prawdziwych, przeto dana liczba nie jest wymierna.