asd Dickens: Wykaż, że funkcja f(x) = x|x| posiada funkcje odwrotną i wyznacz ją jak tutaj najszybciej wykazać różnowartosciowość? Zapisałem funkcje tak f(x) = x² dla x≥0 ; −x² dla x<0 póżniej zakładam ze f nie jest 1−1 ⇔ istnieja takie x₁,x₂ x₁≠x₂ ze f(x₁)=f(x₂) i chce pokazac ze zawsze wychodzi sprzecznosc 1) x₁≥0 i x₂≥0 ... 2) x₁<0 i x₂<0 ... 3) x₁≥0 i x₂<0 ... 4) x₁<0 i x₂≥0 ... Ale to zajmuje duzo czasu, i wydaje mi sie ze za duzo tych przypadkow wypisałem? starcza 3 lub nawet 2? Moze macie jakis inny sposób?

jc: y = x |x| x = znak(y) √|y|

Dickens: nie rozumiem

jc: y > 0 ⇒ znak(y) = 1 y < 0 ⇒ znak*y) =−1 znak(0)=0

purple: Dickens, spróbuję wytłumaczyć: f(x) = y = x|x| czyli {x² dla x≥0 y={ {−x² dla x<0 co inaczej można zapisać: y = znak(x)x² zamiast znak(x) można napisać sgn(x), czyli funkcja signum https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_signum więc y = sgn(x)x² no i stąd wyznaczasz iksa, bo o to chodzi przy funkcjach odwrotnych x = sgn(y)√|y| czyli (zamieniając zmienne) funkcja odwrotna to: f⁻¹(x) = sgn(x)√|x|

Dickens: Dziekuje za wytłumaczenie, mam jeszcze pytanie jak wykazać, żę ta funkcja jest na?

purple: to właściwie przy okazji zostało pokazane − dla dowolnego y∊R istnieje taki x, że f(x) = sgn(x)√|x| jeżeli nie bardzo lubisz signum, to możesz w analogiczny sposób sobie oddzielnie pokazać, że g : <0;∞) → <0;∞>, g(x) = x² jest surjekcją oraz h : (−∞;0> → <−∞;0), h(x) = −x² jest też surjekcją czyli dla g mamy, że dla dowolnego y ≥ 0 istnieje taki x, że g(x) = √x h dla Ciebie i 'wniosek' dla Ciebie mam nadzieję, że nie nakłamałem nic

Dickens: Dla dowolnego y<0 istnieje taki x, że h(x) = −√|x| Dzieki chyba rozumiem

purple: chyba nakłamałem jednak trochę, sorry wydaje mi się, że jednak powinno być inaczej: dla g: x = √y a stąd f(x) = (√y)² = y i podobnie dla h gdyby jeszcze ktoś potwierdził będę wdzięczny, bo nie chce kolegi w błąd znowu wprowadzić

Dickens: Chyba wiem o co chodzi, tak jak mówi definicja czyli każdemu elementowi zbioru y odpowiada pewien argument x dla dowolnego y≥0 istnieje taki x, ze x=√y dla dowolnego y<0 istnieje taki x, ze x=−√−y zatem dla dowolnego y∊R istnieje taki x, ze y=f(x) co jest definicja funkcji na dobrze?

purple: prawie − zrealizowałeś część 'dla każdego y ze zbioru wartości istnieje x' i wskazałeś tego iksa. pozostaje pokazać, że f(x)=y czyli f(x) = (√y)² = y i tyle. teraz już powinno być git wszystko. sorry za wprowadzenie w błąd wcześniej.