Ciagi Kamilka: Zbadaj, czy ciag jest monotonicxny od pewnego miejsca? a_n=n/n² + 1

yht:

	1
a1 =		= 0,5
	2

	2
a2 =		= 0,4
	5

	3
a3 =		= 0,3
	10

	4
a4 =		≈ 0,23
	17

	5
a5 =		≈ 0,19
	26

Obserwacja: ciąg malejący bo mianownik szybciej rośnie od licznika Odp. Ciąg jest monotoniczny od pewnego miejsca, dokładnie od n=1

yht: a jeśli chcesz matematycznie to badasz znak różnicy a_n+1−a_n jeśli ta różnica od pewnego n do nieskończoności będzie stałego znaku to ciąg jest monotoniczny od pewnego miejsca

	n+1		n		n+1		n
an+1−an =		−		=		−		=
	(n+1)2+1		n2+1		n2+2n+2		n2+1

	(n+1)(n2+1)−n(n2+2n+2)		n3+n+n2+1−n3−2n2−2n
		=
	(n2+2n+2)(n2+1)		(n2+2n+2)(n2+1)

	−n2−n+1
=
	(n2+2n+2)(n2+1)

	−n2−n+1
an+1−an =
	(n2+2n+2)(n2+1)

mianownik jest dodatni dla każdego n badamy dla jakich (n) licznik jest dodatni −n²−n+1>0 Δ=1−4*(−1)*1 = 5

	1−√5
n1=		≈ 0,61
	−2

	1+√5
n2 =		≈ −1,61
	−2

n ∊ (−1.61 ; 0.61) ale że n∊N to część wspólna n ∊ (−1.61 ; 0.61) oraz n∊N₊ daje zbiór pusty zatem licznik jest ujemny dla każdego n∊N₊ oznacza to że ciąg jest monotoniczny od pewnego miejsca dokładnie jest monotoniczny od n=1