Granice funkcji w 0 Maciek: Oblicz

	e3x − 1
a) limx→0
	sin 2x

	ln(1 + 3√x)
b) limx→0
	x

Juan: zastosuj regule l'hospitala

Adamm:

	e3x−1		2x		3
a)		*		*		→3/2
	3x		sin2x		2

	ln(1+3√x)1/3√x
b)		→∞
	3√x2

Mariusz: Reguła l'Hospitala może wydawać się wygodna ale tutaj lepiej skorzystać z propozycji Adama Do tego z pierwszym przykładzie dochodzi , twierdzenie o iloczynie granic ,podstawienie , sprowadzenie do granicy z e , a dla trygonometrycznej trzy ciągi W drugim przykładzie dochodzi ciągłość logarytmu i także sprowadzenie do granicy z e

czepialski: a) bzdety.

maks: Mariusz, co to jest za spsoob, ktory przedstawil Adamm? Jak sie on nazywa?

maks: juz sie domyslilem

Maciek:

	[0]
Czy w podpunkcie a) nie mamy wtedy kolejno		* 1 * 3/2? e3x − 1 dąży do 0. 3x dąży
	[0]

do zero i dalej nam zostaje symbol nieoznaczony. Mam rację? @maks @Adamm O co chodzi w podpunkcie b)?

Mariusz: W podpunkcie a) chodzi o to aby granicę przedstawić w postaci iloczynu granic z których dwie dążą do jedynki

	ex−1
Granica		jest dość znana ale nie można użyć l'Hospitala
	x

ponieważ występuje ona podczas liczenia pochodnej z e^x

	sin(x)
Granica		jest dość znana ale nie można użyć l'Hospitala
	x

ponieważ występuje ona podczas liczenia pochodnej z sin(x) Jeżeli chodzi o podpunkt b) to chodzi o to aby po skorzystaniu z ciągłości logarytmu wejść z granicą pod logarytm i otrzymać granicę z liczbą e wtedy pozbędziemy się symbolu nieoznaczonego

Jerzy: A to niby dlaczego nie można zastosować reguły H do policzenia tych granic ?

jc: Mariusz, w moich podręcznikach autorzy podają taką definicję: sin x = x −x³/3!+x⁵/5!−... Wtedy (sin x)/x = 1−x²/3!+x⁴/5! − ... →1 Ale oczywiście można skorzystać z reguły Hospitala i twierdzenia o różniczkowaniu szeregu potęgowego. Podobnie: (e^x−1)/x = 1+x/2! +x²/3! + ... →1

Mariusz: Słyszałem że doktorek prowadzący ćwiczenia z analizy matematycznej dla informatyków odradzał stosowanie reguły l'Hospitala w takich granicach jak

	sin(Δx)		eΔx−1
limΔx→0		czy limΔx→0
	Δx		Δx

właśnie dlatego że tych granic potrzebujemy do policzenia pochodnych z sin(x) oraz e^x To tak jakbyś w logice dowodził tezy przy założeniu że to teza jest prawdziwa i dowodził ją z wykorzystaniem tej tezy a nie na podstawie innych przesłanek jc trochę programowałeś Gdybyśmy zastosowali do tych granic regułę l'Hospitala to otrzymalibyśmy coś co przypomina nieskończoną pętlę

	sin(x)
limx→0
	x

	(x+Δx)−x
limΔx→0
	Δx

	x+Δx−x
=limΔx→0
	Δx

	Δx
=limΔx→0
	Δx

=1

	sin(x+Δx)−sin(x)
limΔx→0
	Δx

	sin(x)cos(Δx)+cos(x)sin(Δx)−sin(x)
limΔx→0
	Δx

	sin(x)cos(Δx)−sin(x)+cos(x)sin(Δx)
limΔx→0
	Δx

	sin(x)(cos(Δx)−1)+cos(x)sin(Δx)
limΔx→0
	Δx

	cos(Δx)−1		sin(Δx)
sin(x)limΔx→0		+cos(x)limΔx→0
	Δx		Δx

	cos(Δx)−1
Granicę limΔx→0
	Δx

można liczyć przechodząc na kąty połówkowe albo rozszerzając tak ułamek aby dostać w liczniku wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów

	(cos(Δx)−1)(cos(Δx)+1)		sin(Δx)
sin(x)limΔx→0		+cos(x)limΔx→0
	Δx(cos(Δx)+1)		Δx

	cos2(Δx)−1)		sin(Δx)
sin(x)limΔx→0		+cos(x)limΔx→0
	Δx(cos(Δx)+1)		Δx

	1−cos2(Δx)		sin(Δx)
−sin(x)limΔx→0		+cos(x)limΔx→0
	Δx(cos(Δx)+1)		Δx

	sin2(Δx)		sin(Δx)
−sin(x)limΔx→0		+cos(x)limΔx→0
	Δx(cos(Δx)+1)		Δx

	sin(Δx)	sin(Δx)		sin(Δx)
−sin(x)limΔx→0			+cos(x)limΔx→0
	cos(Δx)+1	Δx		Δx

Dostajemy granicę lim_Δx→0sin(Δx)}{Δx} więc skaczemy do momentu gdzie zaczynaliśmy liczyć tę granicę i otrzymujemy nieskończoną pętlę jc jeśli zastosujemy pomysł z szeregiem to po co nam będzie reguła Hospitala poza tym czy aby na pewno nie dostaniemy też pętlącej się w nieskończoność granicy ?

jc: Nie przypominam sobie, abym stosował. Jednak to wdzięczny temat zadań dla studentów. Poza tym reguła pozwala zautomatyzować komputerowe liczenie granic.

Mariusz: A ja myślę że tak ją lubicie przez tę amerykańską modę