Granica ciągu z liczbą e dki09: Witam, mam pewien problem z taką granicą ciągu: lim (1,000001 + ¹_n)ⁿ jako, że pierwsza liczba jest bardzo niewiele większa od 1, to wydaje mi się, że w tym przypadku granicą powinna być liczba e, mój problem polega na tym, że nie do końca wiem jak to udowodnić/uzasadnić z góry dzięki za pomoc

Adamm: granica to ∞

kochanus_niepospolitus: a przy okazji jakich zadań (zagadnienia) trafiłeś/−aś na to zadanie?

dki09: generalnie, wśród zadań dotyczących granic ciągów, był dział z "nietypowymi" granicami, tam to zadanie znalazłem. Adamm a co do tej ∞, to skąd ją wziąłeś? bo mi to się w ogóle kupy nie trzyma

Adamm: na przykład a_n≥1,000001ⁿ 1,000001ⁿ→∞ każdy ciąg postaci qⁿ dla q>1 dąży do ∞

dki09: tak, ale pamiętaj o takim wzorze: lim(1+^a_n)ⁿ = e^a Twoje rozwiązanie w tym przypadku się nie sprawdza

Adamm: ok, to jak będzie w porządku, panie rozumy pozjadałem?

dki09: jeśli już przyjąć Twoją taktykę i uznać, że ¹_n → 0, to liczba niewiele większa od 1 podniesiona do potęgi n będzie zmierzała do 1, wynikałoby to z wykresu takiego ciągu

Adamm: lol

kochanus_niepospolitus: dki09

	1
1.00001n ≤ (1.00001 +		)n zgoda zgoda
	n

ciąg a_n = 1.00001ⁿ jest ciągiem ROSNĄCYM a_n+1 − a_n = 1.00001ⁿ*0.00001 > 0 więc nie może być zbieżny do 1 ... koniec kropka

dki09: ok, fakt mój błąd, ale nadal nie podoba mi się koncepcja z tym, że ta granica wyjdzie ∞

kochanus_niepospolitus: Należy dodatkowo zauważyć, że [1.0001^∞] NIE JEST symbolem niezonaczonym stała^∞ −> +∞ (jeżeli stała >1)

kochanus_niepospolitus: popatrz na to w ten sposób: Załóżmy, że istnieje taka potęga 'k', że 1.0001^k > 2 Wtedy a_n > 2^n/k (gdzie k to jakaś stała) ... a chyba nie powiesz, że 2ⁿ nie dąży do +∞, prawda

kochanus_niepospolitus: albo jak wolisz: a_n = 1.00001ⁿ > n*1.00001 = b_n a ciąg b_n to już chyba widać, że jest rozbieżny do +∞

kochanus_niepospolitus: tfu tfu tfu a_n = 1.00001ⁿ > 1 + n*0.00001 = b_n ... co nie zmienia samej granicy ciągu b_n