okres podstawowy funkcjui panpepe: Witam potrzebujem, wyznaczyc okres podstawowy funkcji sin²(x) . Kompletnie tego nie rozumiem jak szukam po googlach, wiem ze f(x+T)=f(x), ale nie potrafie tego zastosować. Może ktoś najłatwiejszym spsoboem to rozwiązać + powiedziec jak rozwiazywac tego typu zadania?

kochanus_niepospolitus: najłatwiej się rozwiązuje poprzez narysowanie wykresu, wtedy od razu widzisz jaki jest okres danej funkcji

panpepe: jak jest funkcja bardziej zlozona, anizeli taka pojedyncza, to nie lepiej jakims tam sposobem obliczyc? Wiem, ze jakos tam sie podstawia okres danej funkcji, ale nie do konca to jarzę. Bo faktycznie, potrafie narysowac i widze gdzie jest jej okresowsc, lecz bardziej mnie tutaj interesuje sposob rachunkowy.

Mila: I sposób

	1−cos(2x)		1		1
sin2x=		=		−		cos(2x)⇔
	2		2		2

	1		1
f(x)=		−		cos(2x)
	2		2

2π− okres zasadniczy y=cosx

	2π
T=		=π ⇔
	2

T=π − okres f(x)=sin²x II sposób za chwilę

panpepe: Troche dziwny sposob. Przez to, ze jest −cos2x/2 to dzielimy T=2pi/2? Znalazlem tutja na forum inny sposob. Nie rozumiem go kompletnie ale sprawdzilem na innych prostych przykladach i dziala, lecz nie wiem dlaczego tak to zachodzi. sin²x=1−cos2x/2 1−cos2(x+T)/2=1−cos2x/2 /// mnoże obustronnie *2 1−cos2x+2T=1−cos2x 1−2x+2T=1−2x+2pi 2T=2Pi T=pi Badź dla przykładu sin=¹₃x sin1/3(x+T)=sin1/3x 1/3x+1/3T=1/3x + 2pi 1/3T=2pi T=6 PI

panpepe: Mógłby ktoś wytłumaczyć czemu tak zachodzi? Da sie w ogole liczyc okres podstawowy jakiejs zlozonej funkcji dajmy na to f(x)=sin2x+cos5x? Czy tylko dla taki prostyhc jak f(x)=sin2x badz f(x) = cos5x?

Mila: 1) przecież moje przekształcenie f(x) jest takie jak napisałeś. [ masz tam błędny zapis wyrażenia

	1−cos(2x)
powinno być :sin2x=		]
	2

	1		1
f(x)=		−		cos(2x)
	2		2

	1
Przesunięcie i		przed cos(2x) nie wpływa na zmianę okresu.
	2

y=cos(X) ma okres podstawowy 2π to y=cos(2x) ma okres

	2π
T=
	2

2) z definicji okresowości : f(x+T)=f(x), T≠0 i niezależna od x .

1		1		1		1
	−		cos[2*(x+T)]=		−		cos(2x)⇔
2		2		2		2

cos(2x+2T)=cos(2x) 2x+2T=2x+2kπ lub 2x+2T=−2x+2kπ 2T=2kπ lub 4x+2T=2kπ nie odpowiada , T będzie zależne od x stałą T wyznaczamy z równania: 2T=2kπ T=kπ T=π − okres zasadniczy

Eta:

	2π
Okres podstawowy sin(2x) T=		=π
	2

wielokrotności to: π, 2π,3π,4π, 5π,....

	2π
okres podstawowy cos(5x) T=
	5

	2π		4π		6π		8π		10π
wielokrotności to:		,		,		,		,		=2π,.......
	5		5		5		5		5

Okres podstawowy f(x)=sin(2x)+cos(5x) T=2π

panpepe: Mila, ten Twój drugi sposob, to jest ten sposob, ktory ja napisałem, prawda? Eta, mam rozumieć ze okresowość wyliczasz po prostu dzieląc 2pi na to co jest w nawiasie ? Napisałaś, że okres podstawowy tego całego wyrażenia to jest 2pi? Czy jak to jest bo nie rozumiem. Skoro okres podstawowy sin2x = pi, a sin(5x) = 2/5pi to pi + 2/5pi to nie bedzie okresem podstawowym tego calego wyrazenia?

panpepe: refresh

Mila: Tak, ale Ty masz błędy w zapisach. 1) y=sin(a*x) , gdzie a≠0, a− stała

	2π
T=
	a

To samo uzyskasz z definicji okresowości 2) y=cos(a*x), gdzie a≠0, a− stała

	2π
T=
	a

panpepe: Jak mam błędny, w którym miejscu?

panpepe: Wiecej nawiasów dalas z teog co wdize

Mila: wg Twojego zapisu: np. cos2(x+T)/2= cos(x+T) a to jest źle.

panpepe: cos[2*(x+T)]/2, tak powinno być, tak?

Mila: w (2) napisałam jak ma być: Przeanalizuj dokładnie . Nie wolno tak pisać: 1−cos2x+2T=1−cos2x , bo to oznacza : 2T=0 Trzeba było zapisać: 1−cos(2x+2T)=1−cos(2x) /−1 −cos(2x+2T)=−cos(2x) cos(2x+2T)=cos(2x) 2x+2T=2x+2kπ⇔ 2T=2kπ T=kπ dla k=1 T=π Masz kłopoty z kolejnością wykonywania działań.

panpepe: Dlaczego? Poza zapisem wszystko jest tak samo i jak teraz patrze jak zrzobiłaś to 2 to identycznie bym zrobil