Zasada szufladkowa Za mała szufladka: Jak użyć zasady szufladkowej do tego zadania? Niech x₁, . . . , x₁₀ będą liczbami naturalnymi spełniającymi warunek x₁ + . . . + x₁₀ = 101. Udowodnij, że spośród nich można wybrać 3 liczby x_i, x_j,x_k takie, że x_i + x_j + x_k≥ ­31.

Adamm: załóżmy że dla dowolnych liczb x_i, x_j, x_k x_i+x_j+x_k≤30

	10 3
wybrać 3 liczby z 10 możemy na		=120 sposobów

	10 2
jak zsumujemy wszystkie wybory, to będzie		=45 liczb xi

więc 45*(x₁+x₂+...+x₁0)≤30*120 x₁+x₂+...+x₁0≤80 sprzeczność

Adamm: nie, pomyłka

9 2
	=36 liczb xi

36*(x₁+x₂+...+x₁₀)≤30*120 x₁+x₂+...+x₁₀≤100 sprzeczność

Adamm: w sumie to nigdzie nie korzystałem z tego że x_i, x_j, x_k są naturalne więc chyba zachodzi dla dowolnych

Adamm: a nie, korzystałem pomyliłem się

g:

	10 2		9 2
@Adamm, drobna pomyłka. Zamiast		powinno być		=36 i wtedy

36*(x₁+x₂+...) ≤ 30*120 x₁+x₂+... ≤ 100

Za mała szufladka:

	9 2
nie rozumiem tego sumowania zbiorów		możecie rozwinąć?

Za mała szufladka: może sprecyzuje, z czego wynika to 36*(x₁+x₂+...) ≤ 30*120

Adamm: sumujemy wszystkie wyrażenia postaci x_i+x_k+x_j≤30 dla 4 to by było (x₁+x₂+x₃)+(x₁+x₃+x₄)+(x₁+x₂+x₄)+(x₂+x₃+x₄)≤120 3*(x₁+x₂+x₃+x₄)≤120 x₁+x₂+x₄+x₄≤40 rozumiesz?

Adamm:

	10 3		4 3
mamy		takich sum, tak jak 19:08 mamy 4 linijka, 4 sumy (		)

	10 3
dlatego 30 mnożymy razy

	9 2
i		z wyrażeń w nawiasach

zawiera jakiś wybrany element, np. x₁ (oczywiście, każdy jest po tyle samo) bo to sumy postaci x₁+x_j+x_k i wybieramy tylko x_j oraz x_k

	3 2
(tak samo jak 19:08, 5 linijka, 3 takie elementy;		)

	9 2
i oczywiście,		wyjmujemy przed nawias

nie wiem czy się jaśniej zrobiło

Za mała szufladka: Ok wszystko jasne

Mila: Czy do N zaliczasz 0?

Adamm: to nieważne Milu, jeśli w poleceniu byłoby choćby x₁, ..., x₁₀ całkowite, to nadal byłaby to prawda bo w swoim dowodzie korzystałem tylko z tego że dla liczb całkowitych ¬(x_i+x_j+x_k≥31) ⇔ x_i+x_j+x_k≤30