Dowód Sena: Udowodnij, że jeśli x+y=2 to x⁴+y⁴≥2

Adamm: ⁴√(x⁴+y⁴)/2≥(x+2)/2 x⁴+y⁴≥(x+y)⁴/8 x⁴+y⁴≥2

Sena: @Adamm jak nazywa się ta zależność?

Adamm: nierówności między średnimi

Adamm: dla danych dodatnich x₁, x₂, ..., x_k S_n=ⁿ√(x₁ⁿ+x₂ⁿ+...+x_kⁿ)/k dla n≠0 (szczególne przypadki, n=−1, 1, 2) S₀=ⁿ√x₁*...*x_k dodatkowo można dodać S_∞=max(x₁, x₂, ..., x_k) S_−∞=min(x₁, ..., x_k) to mamy nierówności dla k₁<k₂ S_k1≤S_k2 oczywiście tutaj musimy zadbać by x, y były dodatnie ale jeśli np. x≤0 to 2≤y więc x⁴+y⁴≥16

henry: Adamm, właściwie dlaczego trzeba zadbać żeby x,y były dodatnie? jeśli dobrze rozumiem, to np. nierówność między średnią kwadratową, a arytmetyczną działa dla dowolnych rzeczywistych x,y − więc skąd ta potrzeba zagwarantowania ich dodatniości?

Adamm: tutaj w tym konkretnym przypadku masz rację ale mówiłem w ogólności przy 19:26

jc: x²+y² = [(x+y)²+(x−y)²] ≥ (x+y)²/2 x⁴ + y⁴ = [(x²+y²)² + (x²−y²)²]/2 ≥ (x²+y²)² /2 ≥ (x+y)⁴/8 = 2

henry: ok, dzięki za odpowiedź Adamm