Dowód Roxi: Udowodnij, że liczba 5⁹−1 jest podzielna przez 4

arizona: 5⁹ − 1 = 1953124

1953124
	= 488281
4

Roxi: Z pewnością z wynik z kalkulatora nie przejdzie

g: Udowodnij indukcyjnie że 5ⁿ−1 jest podzielne przez 4.

Adamm: 5⁹−1=(5−1)(5⁸+5⁷+...+1)

Roxi: Dzięki

Adamm: 5⁹−1=(5³−1)(5⁶+5³+1)=(5−1)(5²+5+1)(5⁶+5³+1) tak też można było, bo jeśli to zadanie licealne, to pewnie nie ma wzoru aⁿ−bⁿ=(a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+...+bⁿ⁻¹) (który tak poza tym możemy dostać z ciągu geometrycznego) ale na pewno jest jego szczególny przypadek dla n=3

Patryyk: Indukcyjnie Niech T(n)=[5ⁿ−1] I krok indukcyjny: dla n₀=1 mamy w(T(n₀))=w(5¹−1).Ponieważ 5¹−1=4 a 4=4*1, to T(n₀) jest zdaniem prawdziwym. II krok indukcyjny: założenie: ∃(k∊C) 5ⁿ−1=4*k Teza: ∃(l∊C) 5ⁿ⁺¹−1=4*l Dowód: Zauwazmy , ze z założenia indukcyjnego mamy 5ⁿ=4k+1. Wobec tego 5ⁿ⁺¹−1=5*(4k+1)−1=20k+5−1=20k+4=4*(5k+1) To konczy dowód , bo l=4*(5k+1) ∊ C dla dowolnego n ∊ N.