Funkcja wymierna Tomek: Cześć, mam pytanie jak narysować wykres takiej funkcji :

	x2−4x+4
f(x) =
	x2 −4

eloelo: dziedzina: x ≠ −2 , x≠2

	(x−2)2		x−2		x+2−4		4		4
f(x) =		=		=		= 1 −		= −		+ 1
	(x−2)(x+2)		x+2		x+2		x+2		x+2

asympototy: y=1, x=−2

jc:

	(x−2)2		x−2		(x+2)−4		4
f(x)=		=		=		=1 −
	(x−2)(x+2)		x+2		x+2		x+2

Alexx: Tak zrobiłem, ale dalsza część zadania brzmiała w jakich przedziałach f(x) jest rosnącą. Według narysowanego wykresu jest to R/{−2}, ale odpowiedź powinna wynosić x∊ (−∞:−2)u(−2;2))u(2;∞) Jak dojść do takiej odpowiedzi ?

Tomek: Ktoś mógłby pomóc ?

grzest: Dziedzina tej funkcji to R\{−2,2}. Poza punktami {−2,2} pochodna jest dodatnia −− wniosek?

jc: Dziedzina nie jest spójna. f(−3)=5, f(0)= −1, f(2)=0. Na pewno nie jest to funkcja monotoniczna na zbiorze (−∞:−2)u(−2;2))u(2;∞). Natomiast na przedziale (−∞:−2) jest rosnąca. Na zbiorze (−2;2))u(2;∞) również jest rosnąca.

Tomek: Skad wiemy, że jest rosnąca w przedziale (−2;2) ?

grzest: Bo pochodna na przedziałach (−∞,−2)(−2,2)(2,∞) jest dodatnia. Aby narysować wykres tej funkcji zbadaj granice jednostronne w punktach −2 i2.

jc:

	4
f(x)=1−
	x+2

Widać przecież, że dla x > −2 mamy funkcję rosnącą. Podobnie dla x<−2 mamy funkcję rosnącą. Ale na całej dziedzinie NIE jest to funkcja rosnąca. Wyrzucenie 2 z dziedziny, niczego nie zmienia.

grzest: @jc No to proszę napisać, gdzie ta funkcja jest malejąca. https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%09y%3D(x%5E2%E2%88%924x%2B4)%2F(x%5E2+%E2%88%924)

grzest: Przypominam, że dziedzina funkcji to R\{−2,2}.

jc: To, że funkcja nie jest rosnąca, nie znaczy, że jest malejąca. −3 i 0 należą do dziedziny. −3 < 0 f(−3)=5, f(0)= −1 5 > −1 Czy coś mylę? Chyba, że masz jakąś inną definicję funkcji rosnącej.

grzest: Mylisz się zdecydowanie. Spojrzyj na wykres dołączony do wiadomości z 17 lis 22:12. Może zrozumiesz.

jc: Ta funkcja po prostu nie jest rosnąca, co nie znaczy, że jest malejącą. Owszem, jest rosnąca na przedziale (−∞,−2) oraz na przedziale (−2,∞), ale na sumie tych przedziałów już nie.

grzest: Bzdura. Funkcja jest rosnąca w swojej dziedzinie, która składa się z trzech przedziałów. I tyle.