monotonicznosc 5-latek: Musze jednak zapytac bo nie rozumiem takich ciagow

	1		1		1
an=		+		+		+ ...... U{1}{(2n−1)(2n+1)
	1*3		3*5		5*7

jak tutaj bedzie z tymi wyrazami

	1
a1=
	1*3

	1		1		1
a2=		czy		+		?
	3*5		1*3		3*5

W sumie mam zbadac monotonicznosc tego ciagu

Adamm: ta druga opcja oczywiście ciąg jest rosnący

'Leszek: Zauwaz :

1		1		1		1
	=		*(		−		)
1*3		2		1		3

1		1		1		1
	=		*(		−		)
3*5		2		3		5

1		1		1		1
	=		*(		−		)
(2n−1)(2n+1)		2		2n−1		2n+1

Dokonaj redukcji i dokoncz !

Adamm: 'Leszek po co ma dokonywać redukcji? za każdym razem dodaje coś dodatniego, więc ciąg jest rosnący to co mu pokazałeś jest zupełnie niepotrzebne

5-latek: czesc Adamm to co napisal Leszek to ja rozumiem .nawet wczoraj policzylem ta sume i

	n
wyszlo mi
	2n+1

Ale powiedzmy ze ja tego nie umiem i z definicji muszse zbadac monotonicznosc tego ciagu czemu bedzie rowny wyraz a_n+1 ? Z tym mam problem przy takich ciagach .

Adamm:

	1
an+1=an+
	(2(n+1)−1)(2(n+1)+1)

5-latek: Dobrze . Teraz to musze przetrawic .

5-latek: ojjj nie o to mi chodzilo ale to ja zle zadalem pytanie . a_n mamy dany

	1		1
an+1= (		+		)+
	1*3		3*5

	1		1		1		1
(		+		+		)+............+
	1*3		3*5		5*7		(2(n+1)−1)(2(n+1)+1)

	1		1
teraz an+1−an}=		−
	(2n+1)(2n+3)		1*3

Tak jest dobrze ?

Adamm:

5-latek: WIec jak powinna wygladac ta roznica ?

Adamm: teraz to ja już nie wiem o co ci chodzi

Adamm: napisz porządnie o co ci chodzi

5-latek: jesli pozwolisz to wroce do tego po pracy wieczorem Teraz muszse juz uciekac .

Adamm: Cześć

5-latek: Rozumuje Adamm tak Ciag a_n

	1
a1=
	1*3

	1		1
a2=		+
	1*3		3*5

	1		1		1
a3=		+		+
	1*3		3*5		5*7

	1
an= ..............................+
	(2n−1)(2n+1)

Teraz biore ciag a_n+1 czyli pierwszym wyrazen ciagiu a_n+1 bedzie wyraz a₂

	1		1
a2=		+
	1*3		3*5

nastepny wyraz to wyraz a₃ nastepny to wyraz a₄

	1
i an+1=
	2(n+1)−1)(2(n+1)+1)

Badam roznice ciagu a_n+1−a_n}

	1
Po odjeciu mam		i zostaje mi wyraz a1 z ciagu an ktiry tez
	(2(n+1)−1)(2(n+1)+1)

muszse od tego odjac

	1		1
Wiec mam an+1−an=		−
	(2n+1)(2n+3)		1*3

czy dobrze rozumuje ?

Bogdan: Dobry wieczór.

	1
Każdy składnik tej sumy można zapisać w postaci:
	(2n − 1)(2n + 2)

Zastosujemy rozkład na ułamki proste:

1		A		B
	=		+		/*(2n − 1)(2n + 1)
(2n − 1)(2n + 1)		2n − 1		2n + 1

1 = A(2n + 1) + B(2n − 1)

	1		1
dla n = −		: 1 = −2B ⇒ B = −
	2		2

	1		1
dla n =		: 1 = 2A ⇒ A =
	2		2

	1		1     2		1     2
		=		−
	(2n − 1)(2n + 1)		2 − 1		2n + 1

1		1   2		1   2
	=		−
1 * 3		1		3

Bogdan:

1		1     2		1     2
	=		−		itd
3 * 5		3		5

5-latek: Dobry wieczor Bogdanie dziekuje Ci bardzo .

Bogdan: Dobry wieczór 5−latku i dobranoc