przekształcenia wika: Dane jest przekształcenie liniowe f;R4−>R3 , f(x,y,z,t)=(x+2z+5t,y+z+t,−x+5t+3z) a) Sprawdz,czy wektor (3,2,1,−1) należy do jądra przekształcenia f; b) Wyznacz bazę i wymair jądra przekształcenia f c) Sprawdz,czy wektor (1,1,4) naezy do obrazu przekształcenia f; d) Wyznacz bazę i wymiar obrazu przekształcenia f Proszę o wyjaśnienie ktok po kroku każdego przykładu,bo niestety nie rozumiem tego

jc: (a) Jądro = wektory, których obraz = 0 Sprawdzasz, czy f(3,2,1,−1)=(0,0,0) (b) Rozwiązujesz równanie f(x,y,z,t)=(0,0,0) czyli układ równań x+2z+5t=0 y+z+t=0 −x+5t+3z=0 baza jądra = baza przestrzeni rozwiązań wymiar jądra = liczba elementów bazy (c) Sprawdzasz, czy równanie f(x,y,z,t)=(1,1,4) ma rozwiązanie (d) Sprawdzasz, dla jakich (a,b,c) równanie f(x,y,z,t)=(a,b,c) ma rozwiązanie Pisz, jak będziesz miał z czymś problem.

wika: Nie do końca wiem , co zrobić z d. bo wyznaczyłam sobie macierzowo i wyglada to tak: 1 0 2 5|a 0 5 5 5|5b 0 5 5 5|c+a wiec aby były rozwiazania to 5b=c+a wiec b=(c+a)/5 i co dalej...?

wika: mam sobie podstawić jakies liczby za c i a? i wyliczyc b i wtedy to bedzie baza?

jc: F(x,y,z) = x(1,0,−1) + y(0,1,0) + z (2,1,3) + t (5,1,5) u=(1,0,−1) v=(0,1,0) w=(2,1,3) q=(5,1,5) (0,1,0)=v w−v=(2,0,3) w−v+3u=(5,0,0) (1,0,0)=(1/5)(w−v+3u) w−v−2u=(0,0,5) (0,0,1)=(1/5)(w−v−2u) A więc każdy wektor z R³ przedstawisz jako kombinacje wektorów u,v,w. Wymiar = 3.