Wyprowadzenie podstawowych wzorów na całki Weronikaaa: Wyprowadzenie podstawowych wzorów na całki− czy ma ktoś jakieś materiały, w których wyprowadzono te wzory? Tytuły książek, strony internetowe itp? Może być po polsku i angielsku. Z góry dziękuję.

Weronikaaa: up

jc: Podstawowe wzory to te same wzory, co dla pochodnych tylko zapisane w odwrotnej kolejności (czasem lekko poprawione). (x^a)' = a x^a−1

	1
∫ xb dx =		xb+1, b≠−1
	b+1

(za a wstawiasz b+1 i obie strony dzielisz przez b+1) itd.

Weronikaaa: Dziękuję

Mariusz: Podstawowe wzory na całki otrzymujesz korzystając z tego że (F(x)+C)'=f(x) gdzie F(x) funkcja pierwotna a f(x) to funkcja podcałkowa Później masz 1. Liniowość całki ∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx ∫(cf(x))dx=c∫f(x)dx 2. Całkowanie przez części ∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)−∫f'(x)g(x)dx Wychodzisz ze wzoru na pochodną iloczynu i całkujesz go obustronnie Przykłady takie jak ∫W(x)e^xdx (* W(x) jest wielomianem , zamiast e^x możesz dać funkcję odwrotną *) ∫W(x)cos(x)dx ∫e^xcos(x)dx Wzory redukcyjne też zwykle wyprowadzasz całkując przez części Jeżeli chodzi o wzory redukcyjne to przydatne mogą być takie jak ∫sinⁿ(x)dx (*Czasami zamiana na sumę funkcji trygonometrycznych wielokrotności kąta *) ∫cosⁿ(x)dx (*może być uciążliwa*)

	dx
∫		(*Jako alternatywa dla wydzielenia części wymiernej całki*)
	(a2+x2)n

3. Całkowanie przez zamianę zmiennych ∫f(x)dx=∫f(g(t))g'(t)dt Wychodzisz ze wzoru na pochodną złożenia Jako przykład możesz sobie wziąć

	f'(x)
∫		dx
	f(x)

bo już wkrótce może być on przydatny 4. Całkowanie funkcji wymiernych a) stopleń licznika nie mniejszy od stopnia mianownika Niech L(x)=W(x)M(x)+R(x)

	L(x)		W(x)M(x)+R(x)
∫		dx=∫		dx
	M(x)		M(x)

	L(x)		R(x)
∫		dx=∫W(x)dx+∫		dx
	M(x)		M(x)

b) mianownik posiada pierwiastki wielokrotne (mogą być zespolone)

	R(x)		R1(x)		R2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

M₁(x)=NWD(M(x),M'(x)) M(x)=M₁(x)M₂(x) (* NWD możesz liczyć na dwa sposoby − jeżeli masz dany rozkład mnianownika na czynniki wykorzystujesz go − jeśli nie masz danego tego rozkładu korzystasz z algorytmu kolejnych dzieleń *) stopień R₁(x) < stopień M₁(x) stopień R₂(x) < stopień M₂(x) Liczniki R₁(x) oraz R₂(x) znajdujesz metodą współczynników nieoznaczonych Za współczynniki tych wielomianów obierasz współczynniki literowe i różniczkujesz równość

	R(x)		R1(x)		R2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

aby je wyznaczyć c) stopień licznika mniejszy od stopnia mianowmika , mianownik posiada jedynie pierwiastki jednokrotne (mogą być zespolone) Niech M₂(x)=(x−a₁)(x−a₂)*...*(x−a_k)* (x²+p₁x+q₁)(x²+p₂x+q₂)*...*(x²+p_mx+q_m)

	R2(x)		A1		A2		Ak
∫		dx=∫		dx+∫		dx+...+∫		dx
	M2(x)		x−a1		x−a2		x−ak

	B1x+C1		B2x+C2
+∫		dx+∫		dx
	x2+p1x+q1		x2+p2x+q2

	Bmx+Cm
+...+∫		dx
	x2+pmx+qm

Jeżeli w mianowniku ułamka prostego występuje trójmian kwadratowy nierozkładalny nad R to zapisujesz go w postaci kanonicznej (możesz zastosować pomocnicze podstawienie) Przydatne podstawienia Całki postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx 1. a>0 √ax²+bx+c=t−√ax ax²+bx+c=t²−2√axt+ax² bx+c=t²−2√axt 2√axt+bx=t²−c x(2√at+b)=t²−c

	t2−c
x=
	2√at+b

	2√at2+bt−√at2+√ac
t−√ax=
	2√at+b

	√at2+bt+√ac
t−√ax=
	2√at+b

	2t(2√at+b)−2√a(t2−c)
dx=		dt
	(2√at+b)2

	2√at2+2bt+2√ac
dx=		dt
	(2√at+b)2

∫R(x,√ax²+bx+c)dx=

	t2−c		√at2+bt+√ac		√at2+bt+√ac
2∫R(		,		)		dt
	2√at+b		2√at+b		(2√at+b)2

=∫R₁(t)dt 2. c>0 √ax²+bx+c=xt+√c ax²+bx+c=x²t²+2√cxt+c ax²+bx=x²t²+2√cxt ax+b=xt²+2√ct ax−xt²=2√ct−b x(a−t²)=2√ct−b

	2√ct−b
x=
	a−t2

	2√ct2−bt+a√c−√ct2
xt+√c=
	a−t2

	√ct2−bt+a√c
xt+√c=
	a−t2

	2√c(a−t2)−(−2t)(2√ct−b)
dx=
	(a−t2)2

	2√ct2−2b√ct+2a√c
dx=		dt
	(a−t2)2

∫R(x,√ax²+bx+c)dx=

	2√ct−b		√ct2−bt+a√c		√ct2−b√ct+a√c
2∫R(		,		)		dt
	a−t2		a−t2		(a−t2)2

=∫R₂(t)dt 3. b²−4ac>0 ∫R(x,√ax²+bx+c)dx √ax²+bx+c=(x−x₁)t ax²+bx+c=(x−x₁)²t² a(x−x₁)(x−x₂)=(x−x₁)²t² a(x−x₂)=(x−x₁)t² ax−ax₂=xt²−x₁t² ax−xt²=ax₂−x₁t² x(a−t²)=ax₂−x₁t²

	ax2−x1t2
x=
	a−t2

	ax2−ax1+ax1−x1t2
(x−x1)t=(		−x1)t
	a−t2

	a(x2−x1)
(x−x1)t=(		+x1−x1)t
	a−t2

	a(x2−x1)t
(x−x1)t=
	a−t2

	ax2−x1t2
x=
	a−t2

	−2x1t(a−t2)−(−2t)(ax2−x1t2)
dx=		dt
	(a−t2)2

	−2x1t(a−t2)−(−2t)(ax2−x1t2)
dx=		dt
	(a−t2)2

	2a(x2−x1)t
dx=		dt
	(a−t2)2

∫R(x,√ax²+bx+c)dx=

	ax2−x1t2		a(x2−x1)t		a(x2−x1)t
2∫R(		,		)		dt
	a−t2		a−t2		(a−t2)2

=∫R₃(t)dt Pierwsze i trzecie podstawienie wystarczą do sprowadzenia całek postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx do całek z funkcji wymiernej ale czasami po zastosowaniu drugiego podstawienia można uzyskać całkę wymagającą mniej obliczeń Całki postaci ∫x^m(axⁿ+b)^pdx m,n,p ∊ ℚ 1. p∊ℤ t^β=x β=NWW(m,n) 2.

m+1
	∊ℤ
n

	r
Niech p=		, r,s ∊ℤ
	s

t^s=axⁿ+b 3.

m+1
	+p∊ℤ
n

	r
Niech p=		, r,s ∊ℤ
	s

	axn+b
ts=
	xn

Całki postaci ∫R(cos(x),sin(x))dx

	x
t=tg(		)
	2

	x
t2=tg2(		)
	2

	x   sin2( )   2
t2=
	x   cos2( )   2

	x   x   sin2( )+sin2( )   2   2
t2+1=
	x   cos2( )   2

	1
t2+1=
	x   cos2( )   2

1		x
	=cos2(		)
t2+1		2

2		x		x
	=cos2(		)+cos2(		)
t2+1		2		2

2		x		x
	=cos2(		)+1−sin2(		)
t2+1		2		2

2
	=cos(x)+1
t2+1

	2−1−t2
cos(x)=
	1+t2

	1−t2
cos(x)=
	1+t2

	tg(x)+tg(y)
tg(x+y)=
	1−tg(x)tg(y)

	2tg(x)
tg(2x)=
	1−tg2(x)

	x		x   2tg( )   2
tg(2		)=
	2		x   1−tg2( )   2

	x   2tg( )   2
tg(x)=
	x   1−tg2( )   2

	2t
tg(x)=
	1−t2

	1
tg(x)=sin(x)
	cos(x)

2t		1+t2
	=sin(x)
1−t2		1−t2

2t=sin(x)(1+t²)

	2t
sin(x)=
	1+t2

	1−t2
cos(x)=
	1+t2

	tg(x+Δx)−tg(x)
(tg(x))'=limΔx→0
	Δx

	tg(x)+tg(Δx)   −tg(x) 1−tg(x)tg(Δx)
=limΔx→0
	Δx

	tg(x)+tg(Δx)−tg(x)(1−tg(x)tg(Δx))   1−tg(x)tg(Δx)
=limΔx→0
	Δx

	tg(x)+tg(Δx)−tg(x)+tg2(x)tg(Δx)   1−tg(x)tg(Δx)
=limΔx→0
	Δx

	tg(Δx)+tg2(x)tg(Δx)   1−tg(x)tg(Δx)
=limΔx→0
	Δx

	tg(Δx)(1+tg2(x))   1−tg(x)tg(Δx)
=limΔx→0
	Δx

	1+tg2(x)	1
=limΔx→0tg(Δx)
	1−tg(x)tg(Δx)	Δx

	tg(Δx)	1+tg2(x)
=limΔx→0
	Δx	1−tg(x)tg(Δx)

	sin(Δx)	1	1+tg2(x)
=limΔx→0
	Δx	cos(Δx)	1−tg(x)tg(Δx)

	1+tg2(x)
=limΔx→0
	1−tg(x)tg(Δx)

=1+tg²(x)

	x
t=tg(		)
	2

	1		x
dt=		(1+tg2(		))dx
	2		2

2dt=(1+t²)dx

	2
dx=		dt
	1+t2

	1−t2		2t		1
∫R(cos(x),sin(x))dx=2∫R(		,		)		dt
	1+t2		1+t2		1+t2

=∫R₁(t)dt Tutaj argument tangensa można przesunąć o stałą np zamiast

	x		x		π
t=tg(		) podstawić t=tg(		+		)
	2		2		4

Całki postaci ∫R(e^x)dx Tutaj podstawienie samo się narzuca do tej postaci sprowadzają się całki postaci ∫R(cosh(x),sinh(x))dx (*Ten punkt programu chyba lepiej przenieść na koniec bo niektóre z tych funkcji zdefiniowane są całką oznaczoną*) Sprowadzanie całek do znanycgh całek nieelemenarnych jak całki eliptyczne funkcja gamma, beta Eulera funkcja całkowo−wykładicza logarytm całkowy sinus całkowy cosinus całkowy funkcja błędu Gaussa sinus i cosinus Fresnela Całkowanie przez rozwinięcie w szereg Teraz przechodzisz do całek oznaczonych Podział odcinka i sumy całkowe Całka jako granica sumy pól pod wykresem funkcji na podprzedziałach Twierdzenie Newtona−Leibniza Zastosowanie do liczenia pól pod wykresem , długości krzywych na zadanym przedziale pole i objętość brył obrotowych Krzywe mogą być zadane jawnie bądź w postaci uwikłanej w układzie kartezjańskim, równaniami parametrycznymi, w układzie biegunowym Przed przejściem do całek wielokrotnych liczysz jeszcze trochę całek niewłaściwych (jeśli na zadanym przedziale występują punkty dla których funkcja jest nieokreślona jeśli co najmniej jednym z krańców przedziału jest nieskończoność)