Nierownosc z pierwiastkiem, studia Paweł: Witam, bardzo mi zalezy na rozwiazaniu wraz z wytlumaczeniem krok po kroku tych dwoch zadan. Co mnie glownie w nich nurtuje to KIEDY moge podnosic stronami do kwadratu (wiem ze jest mowa o dodatnosci/ujemnosci, aczkolwiek nie wiem jak to dokladnie sprawdzic), oraz z tego co sie orientuje w przynajmniej jednym z tych zadan bedzie trzeba rozwazyc przypadki − skad wiem jakie to przypadki, mozliwie jak najbardziej lopatologicznie. Z gory dziekuje i pozdrawiam. √(2−x)(x+3) < x+1 √x²+x−2 < x

yht: √(2−x)(x+3) < x+1 Dziedzina: (2−x)(x+3) ≥ 0 x=2, x=−3 rysujesz parabolę z ramionami w dół (bo minus przy x) masz ≥ 0 czyli patrzysz dla jakich x parabola jest nad osią D: x ∊ <−3, 2> podnosić do kwadratu możesz jedynie wtedy, gdy masz pewność że obie strony nierówności są dodatnie √cokolwiek = liczba dodatnia (coś z iksami) = liczba nie wiadomo jaka − trzeba pomyśleć dla jakich (x) jest dodatnia √(2−x)(x+3) < x+1 czyli liczba dodatnia < x+1 zauważmy że dla x<−1 liczba x+1 jest ujemna zatem dla x<−1 liczba dodatnia < liczba ujemna co jest sprzecznością wyszło x<−1 więc w tym momencie z dziedziny <−3, 2> wyrzucamy wszystko mniejsze od −1 zostaje nam zawężona dziedzina D_z = <−1, 2> wówczas, dla x∊<−1, 2> mamy liczba dodatnia < liczba dodatnia (obie strony można podnieść do kwadratu bo po obu stronach liczba dodatnia) √(2−x)(x+3) < x+1 podnosimy do kwadratu z zastrzeżeniem że x∊<−1, 2> (√(2−x)(x+3))² < (x+1)² (2−x)(x+3) < x²+2x+1 2x+6−x²−3x<x²+2x+1 −2x²−3x+5<0 Δ=9−4*(−2)*5 = 9+40 = 49 √Δ = 7

	3−7
x1=		= 1
	−4

	3+7
x2 =		= −2,5
	−4

x∊(−∞, −2.5) u (1, +∞) robisz część wspólną x∊(−∞, −2.5) u (1, +∞) i tej zawężonej dziedziny x∊<−1, 2> częścią wspólną jest x∊(1, 2> i takie jest rozwiązanie nierówności p{2−x)(x+3) < x+1 koniec zadania −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− √x²+x−2 < x Dziedzina: x²+x−2 ≥ 0 Δ = ... x₁ = 1, x₂ = −2 D: x∊ (−∞, −2> u <1, +∞) liczba dodatnia < x dla x<0 mamy liczba dodatnia < liczba dodatnia czyli sprzeczność więc z dziedziny x∊ (−∞, −2> u <1, +∞) wyrzucasz wszystkie x<0 zostaje ci zawężona dziedzina x∊ <1, +∞) dla zawężonej dziedziny czyli dla x∊<1, +∞) masz √x²+x−2 < x liczba dodatnia < liczba dodatnia podnosimy do kwadratu (√x²+x−2)² < x² x²+x−2 < x² x²−x²+x−2 < 0 x−2 < 0 x < 2 robisz cz. wspólną x < 2 i zawężonej dziedziny x∊<1, +∞) Tą częścią wspólną jest x∊<1, 2) i takie jest rozwiązanie nierówności √x²+x−2 < x

kochanus_niepospolitus: Krok 1: Najpierw zapisujemy założenia: √to co tutaj musi być ≥0 a więc dla pierwszego przypadku: (2−x)(x+3) ≥ 0 ⇔ x ∊ <−3;2> a dla drugiego to: x²+x−2 ≥ 0 ⇔(x−1)(x+2) ≥ 0 ⇔ x∊(−∞, −2> u <1, + ∞) Krok 2: Znając już to można łatwo pokazać (akurat w tych przypadkach) że gdy: x+1 < 0 to pierwsza nierówność jest na pewno niespełniona (bo pierwiastek przyjmuje wartość nieujemną) x< 0 to druga nierówność jest na pewno niespełniona a więc mamy: dla pierwszego przykładu x∊<−1 ; 2> dla drugiego przykładu x∊ <1, +∞) I szukasz rozwiązań tych nierówności tylko w tych przedziałach. Dla tych przedziałów lewa i prawa strona nierówności będzie liczbą nieujemną, więc bez przeszkód możesz podnosić do ²

yht: w drugiej nierówności napisałem: dla x<0 mamy liczba dodatnia < liczba dodatnia czyli sprzeczność powinno być oczywiście liczba dodatnia < liczba ujemna czyli sprzeczność

===: https://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_analizy_staro%C5%BCytnych Albo poczytaj o metodzie starożytnych ...napracujesz się mniej

Paweł: Chwała Wam wszystkim za pomoc! @yht: Bardziej lopatologicznie sie chyba nie dalo, i faktycznie zrozumialem wszystko. Jestem ogromnie wdzieczny za pomoc!

Paweł: Wracam jeszcze do Was z inna wersja tego samego zadania: √(2−x)(x+3) > x+1 Teraz moje rozwiazanie: Dziedzina: (2−x)(x+3) > 0 x₁ = 2 x₂ = −3 x∊<−3; 2> Dwa przypadki: 1. x+1 ≥ 0 x ≥ −1 liczba dodatnia > liczba dodatnia Podnosze obustronnie do kwadratu... x₁ = 1 x₂ = −2,5 x∊(−2,5; 1) 2. x + 1 < 0 x < −1 liczba dodatnia > liczba ujemna to jest zawsze prawdziwe dla dziedziny: <−3; −1) Odpowiedz: x∊<−2,5; −1> Problem polega na tym ze wolframalpha.com podaje odpowiedz w tym zadaniu <−3; 1), a ze raczej sie nie myli, to znaczy ze ja cos zrobilem zle. Jesli mam zgadywac to ewidentnie nie rozumiem przedzialow, jesli ktos moglby mnie tam poprawic i ewentualnie wytlumaczyc dlaczego jest tak a nie inaczej, bylbym wdzieczny.

kochanus_niepospolitus: przecież w pierwszym przypadku wyszło Ci x∊(−2.5 ; 1) a po nałożeniu warunku z przypadku (czego nie zrobiłeś) wychodzi: <−1 ; 1) drugi przypadek poprawnie W efekcie wychodzi <−3 , 1)

PW: Rozwiązanie jest sumą rozwiązań na rozpatrywanych przedziałach, a Ty wziąłeś część wspólną.

Paweł: Sumą, teraz to ma sens. Pytanie dlaczego w tej wersji zadania rozwiazanie jest suma, a w tej poprzedniej czescia wspolna? @kochanus_niepospolitus Dzieki, zauwazylem swoj blad chwilke po napisaniu posta, niestety nie zmienilo to nic bo nadal nie wiedzialem o sumie.

kochanus_niepospolitus: Paweł ... w poprzedniej także była suma ... tylko jeden przypadek nie miał w ogóle rozwiązań

kochanus_niepospolitus: więc tak mamy: 1) Dziedzina (jakiś przedział) 2) Warunek dla przypadku 'a' 3) Rozwiązanie dla przypadku 'a' Wtedy: wynik dla przypadku 'a' wyznaczony jest jako: {rozwiązanie} ∩ {warunek} ∩ {dziedzina} Analogicznie dla przypadku 'b' Wtedy: rozwiązanie całego zadania to będzie: 'wynik dla przypadku a' ∪ 'wynik dla przypadku b'

Paweł: Wszystko jasne. Az wstyd mi ze takie pytania zadaje no ale coz, braki sa to trzeba je nadrabiac. Dziekuje bardzo za pomoc, milego dnia!