Rozwiązać równanie różniczkowe jednorodne gość: Rozwiązać równanie różniczkowe jednorodne: ty'=3y−2t−2√ty−y²

Mariusz: y=ut y'=u't+u t(u't+u)=3ut−2t−2√ut²−u²t² u't²+ut=3ut−2t−2√ut²−u²t² u't²=2ut−2t−2√ut²−u²t² u't²=2ut−2t−2t√u−u² u't=2u−2−2√u−u²

u'		2
	=
u−1−√u−u2		t

du		2dt
	=
u−1−√u−u2		t

√u−u²=(u−1)t u−u²=(u−1)²t² u(1−u)=(u−1)²t² −u=(u−1)t² −u=ut²−t² t²=u+ut² t²=u(1+t²)

	t2
u=
	1+t2

	−1
(u−1)=
	1+t2

	−t
(u−1)t=
	1+t2

	2t(1+t2)−2t3
du=		dt
	(1+t2)2

	2t
du=		dt
	(1+t2)2

	−1+t
u−1−√u−u2=
	1+t2

	t2+1	2t
∫			dt
	t−1	(1+t2)2

	2t
∫		dt
	(t−1)(1+t2)

	(t2+1)−(t−1)2
∫		dt
	(t−1)(1+t2)

	dt		t−1
∫		−∫		dt
	t−1		t2+1

	dt		1		2t		1
∫		−		∫		dt+∫		dt
	t−1		2		t2+1		1+t2

	1
ln|t−1|−		ln|t2+1|+arctan(t)+C1
	2

	1		(t−1)2
=		ln|		|+arctan(t)+C1
	2		t2+1

	1		√u−u2
=		ln{|2√u−u2+1|}+arctan(		)+C1
	2		u−1

1		√u−u2
	ln{|2√u−u2+1|}+arctan(		)+C1=2ln{|t|}
2		u−1

1		√u−u2
	ln{|2√u−u2+1|}+arctan(		)−2ln|t|=C1
2		u−1

1		2		t		√ut2−u2t2
	ln{|		√ut2−u2t2+		|}+arctan(		)−2ln|t|=C1
2		t		t		ut−t

1		√yt−y2		5
	ln|2√yt−y2|+arctan(		)−		ln|t|=C1
2		y−t		2

	√yt−y2
ln|2√yt−y2|+2arctan(		)−5ln|t|=C
	y−t

Mariusz: Zdaje się że zgubiłem t w argumencie logarytmu

	√yt−y2
ln|2√yt−y2+t|+2arctan(		)−5ln|t|=C
	y−t