niejednorodność potfur: Znaleźć postać jawną ciągu spełniającego formułę: (n−1)a_n−na_n−1=3n²(n−1), gdy a₁=3

Stach:

	3
an =		n2(1 + n)
	2

potfur: Jak to zrobić?

Stach: wziąć kartkę, jakiś pisak, wypisać kilka początkowych wyrażeń (dla n = 2, n = 3, n = 4 itd) bez obliczeń rachunkowych, przeanalizować zapisy, zauważyć zależności, wyciągnąć wnioski

Mariusz: Masz różne sposoby m. in. funkcje tworzące (zwykła bądź wykładnicza ) czynnik sumacyjny Jeśli zastosujesz funkcję tworzącą to prawdopobnie będziesz musiał rozwiązać liniowe równanie różniczkowe

Stach: To jest zadanie na poziomie drugiej klasy liceum, nie potrzeba rozwiązywać równań różniczkowych

Mariusz: Niech A(x)=∑_n=1^∞a_nxⁿ ∑_n=2^∞(n−1)a_nxⁿ−∑_n=2^∞na_n−1xⁿ=∑₂^∞(3n²−3n)xⁿ ∑_n=1^∞(n−1)a_nxⁿ−3x−x∑_n=1^∞(n+1)a_nxⁿ=∑₀^∞(3n²−3n)xⁿ ∑_n=1^∞(n−1)a_nxⁿ−x∑_n=1^∞(n+1)a_nxⁿ=3x+∑₀^∞(3n²−3n)xⁿ ∑_n=1^∞(n−1)a_nxⁿ−x∑_n=1^∞(n+1)a_nxⁿ= 3x+3(∑₀^∞((n+1)(n+2)(n+3)−6(n+1)(n+2)+6(n+1))xⁿ) ∑_n=1^∞(n−1)a_nxⁿ−x∑_n=1^∞(n+1)a_nxⁿ=

	6		12		6
=3x+3(		−		+		)
	(1−x)4		(1−x)3		(1−x)2

∑_n=1^∞(n+1)a_nxⁿ−2(∑_n=1^∞a_nxⁿ)−x(∑_n=1^∞(n+1)a_nxⁿ)=

	6		12		6
=3x+3(		−		+		)
	(1−x)4		(1−x)3		(1−x)2

(1−x)(∑_n=1^∞(n+1)a_nxⁿ)−2(∑_n=1^∞a_nxⁿ)=

	6		12		6
=3x+3(		−		+		)
	(1−x)4		(1−x)3		(1−x)2

	18		36		18
(1−x)(xA(x))'−2A(x)=3x+		−		+
	(1−x)4		(1−x)3		(1−x)2

	18		36		18
(1−x)(A(x)+xA'(x))−2A(x)=3x+		−		+
	(1−x)4		(1−x)3		(1−x)2

	18		36		18
A(x)+xA'(x)−xA(x)−x2A'(x)−2A(x)=3x+		−		+
	(1−x)4		(1−x)3		(1−x)2

	18		36		18
(x−x2)A'(x)−(1+x+x2)A(x)=3x+		−		+
	(1−x)4		(1−x)3		(1−x)2

	1+x+x2		3		18		36		18
A'(x)+		A(x)=		+		−		+
	x2−x		1−x		x(1−x)5		x(1−x)4		x(1−x)3

No i mamy równanie różniczkowe mogłem coś pomylić w obliczeniach ale i tak po zastosowaniu funkcji tworzącej najprawdopodobniej dostaniemy równanie różniczkowe Po rozwiązaniu równania różniczkowego będziemy musieli ją n krotnie różniczkować aby wydobyć współczynniki chyba że okaże się funkcją wymierną wtedy wystarczy rozkład na sumę szeregów geometrycznych i ich pochodnych Jeśli chodzi o czynnik sumacyjny to wprawdzie stosuje się go do rekurencji tej postaci ale mogą nie być spełnione dodatkowe założenia (możemy mieć np dzielenie przez zero) Nie ćwiczyłem tego sposobu aż tak dobrze

jc: (n−1)a_n−na_n−1=3n²(n−1), gdy a₁=3

an		an−1
	=		+ 3n
n		n−1

an		3n(n+1)
	= 3(1+2+3+...+n) =
n		2

	3n2(n+1)
an=
	2

Mariusz: (n−1)a_n−na_n−1=3n²(n−1), gdy a₁=3 Niech A(x)=∑_n=1a_nxⁿ ∑_n=2(n−1)a_nxⁿ−∑_n=2na_n−1xⁿ=∑_n=23n²(n−1)xⁿ ∑_n=1(n−1)a_nxⁿ−x(∑_n=2na_n−1xⁿ⁻¹) =3(∑_n=0((n+1)(n+2)(n+3)−7(n+1)(n+2)+10(n+1)−2)xⁿ) ∑_n=1(n−1)a_nxⁿ−x(∑_n=1(n+1)a_nxⁿ)

	6		14		10		2
=3(		−		+		−		)
	(1−x)4		(1−x)3		(1−x)2		1−x

∑_n=1(n+1)a_nxⁿ−2(∑_n=1a_nxⁿ)−x(∑_n=1(n+1)a_nxⁿ)

	6−14(1−x)+10(1−2x+x2)−2(1−3x+3x2−x3)
=3(		)
	(1−x)4

	2x3+4x2
(1−x)(∑n=1(n+1)anxn)−2(∑n=1anxn)=3
	(1−x)4

	2x3+4x2
(1−x)(xA(x))'−2A(x)=3
	(1−x)4

	2x3+4x2
(1−x)(A(x)+xA'(x))−2A(x)=3
	(1−x)4

	2x3+4x2
(1−x)A(x)−2A(x)+x(1−x)A'(x)=3
	(1−x)4

	2x3+4x2
x(1−x)A'(x)−(1+x)A(x)=3
	(1−x)4

x(1−x)A'(x)−(1+x)A(x)=0 x(1−x)A'(x)=(1+x)A(x)

A'(x)		1+x
	=
A(x)		x(1−x)

A'(x)		1−x+2x
	=
A(x)		x(1−x)

A'(x)		1		2
	=		+
A(x)		x		1−x

ln|A(x)|=ln|x|−2ln|1−x|+C

	x
A(x)=C
	(1−x)2

	x
A(x)=C(x)
	(1−x)2

	2x3+4x2
x(1−x)A'(x)−(1+x)A(x)=3
	(1−x)4

	x		(1−x)2+2(1−x)x		x
x(1−x)(C'(x)		+C(x)		)−(1+x)C(x)
	(1−x)2		(1−x)4		(1−x)2

	2x3+4x2
=3
	(1−x)4

	x		1+x		x		2x3+4x2
x(1−x)(C'(x)		+C(x)		)−(1+x)C(x)		=3
	(1−x)2		(1−x)3		(1−x)2		(1−x)4

	x2		(1+x)x		x		2x3+4x2
C'(x)		+C(x)		−(1+x)C(x)		=3
	(1−x)		(1−x)2		(1−x)2		(1−x)4

	x2		6x3+12x2
C'(x)		=
	(1−x)		(1−x)4

	6x+12
C'(x)=
	(1−x)3

	2
C'(x)=(3x+6)
	(1−x)3

	3x+6		3
C(x)=		−
	(1−x)2		1−x

	3x−3+9		3
C(x)=		−
	(1−x)2		1−x

	9		6
C(x)=		−
	(1−x)2		1−x

	x
A(x)=C(x)
	(1−x)2

	9x		6x
A(x)=		−
	(1−x)4		(1−x)3

	9
an=		n(n+1)(n+2)−3n(n+1)
	6

	3
an=n(n+1)(		(n+2)−3)
	2

	3
an=n(n+1)(		n+3−3)
	2

	3
an=		n2(n+1)
	2

	3
an=		n2(n+1)
	2

Mariusz: jc o jak ładnie udało ci się podzielić to równanie rekurencyjne i nawet uzyskałeś efekt zbliżony do czynnika sumacyjnego Gdy patrzyłem na wiki to wprawdzie równanie rekurencyjne jest w tej postaci co do czynnika sumacyjnego jednak nie spełnia dodatkowych założeń (np możliwe dzielenie przez zero) Jeszcze gdybyś napisał jak dobierać czynnik przez który należy pomnożyć równanie danej postaci aby otrzymać równanie rekurencyjne na sumę to pewnie twoje rozwiązanie byłoby zrozumałe dla takiego ucznia drugiej klasy liceum Moje rozwiązanie może jest trochę zbyt skomplikowane dla licealisty ale pokazuje że funkcjami tworzącymi też można