Niech r będzie relacją równoważności w zbiorze U. MAD Michał: Czy jest tu jakiś specjalista z MAD. Potrzebuje pomocy z zadaniem Które z własności relacji r i jej klas abstrakcji są prawdziwe? a)Relacja odwrotna do r nie musi być relacją równoważności. b)Uzupełnienie r w zbiorze UxU jest też relacją równoważności. c)Jeżeli x i y są różnymi elementami U, to klasy abstrakcji [x] i [y] są też różne. d)Dla dowolnych x, y ze zbioru U, przecięcie klas [x], [y] jest niepuste tylko wtedy, gdy para (x,y) należy do relacji r.

PW: Nie czuję się "specjalistą z MAD, powiem więcej − nawet nie wiem co oznacza skrót "MAD", zatem odpowiem tylko na pytanie a) Jeżeli R jest relacją − podzbiorem U² − i jest relacją równoważności, to prawdziwe jest wynikanie (1) ((x,y)∊R ∧ (y,z)∊R) ⇒ (x,z)∊R (relacja jest przechodnia). Relacja odwrotna T jest zwrotna i symetryczna w sposób oczywisty. Jeżeli do relacji odwrotnej T należą elementy (a,b), (b,c) to do relacji R należą elementy (b,a), (c,b), a więc na podstawie warunku (1) prawdziwa jest implikacja ((c,b)∊R∧(b,a)∊R) ⇒ (c,a)∊R o prawdziwym poprzedniku, więc prawdziwy jest następnik (c,a)∊R, co oznacza prawdziwość zdania (a,c)∊T. Pokazaliśmy, że dla dowolnych (a,b) i (b,c) należących do T prawdziwe jest zdanie: (a,b)∊T∧(b,c)∊T) ⇒ (a,c)∊T, co oznacza że T jest relacją przechodnią.

PW: Michał, ale nie pisz, że to "trochę wydaje się przekombinowane".