Stosując Zasadę Maksimum udowodnij. Karmel: Stosując Zasadę Maksimum, pokaż, że dla liczb naturalnych k>10 prawdziwa jest nierówność 3^k−100<=k!. Proszę o pomoc nie wiem jak się za to zabrać

Karmel: up

kochanus_niepospolitus: przecież to jest już prawdą dla k>5 i możesz to udowodnić indukcyjnie 1) n = 5 3⁵ − 100 = 243 − 100 = 143 < 120 = 5! 2) n= k 3^k − 100 ≤ k! 3) 3^k+1 − 100 = 3*3^k − 300 + 200 ≤ 3*k! + 200 ≤ 3*k! + k! = 4*k! < (k+1)*k! = (k+1)! c.n.w.

kochanus_niepospolitus: tfu k≥5

kochanus_niepospolitus: niee ... ok ... dla k>5 ze względu na to szacowanie które zrobiłem (200 < k!)

kochanus_niepospolitus: chociaż by wystarczyło zrobić, że 200 < 2*5! < 2*k! i już będziemy mieli udowodnione dla k≥5

Karmel: Wiem, że indukcyjnie było by łatwiej ale muszę koniecznie użyć tutaj Zasady Maksimum Zacząłem tak przez S oznaczyłem zbiór rozwiązań dla których ta nierówność jest prawdziwa. S ∈ N i S = {k>10 i k∈N : 3^k−100<=k!}. I S≠N więc istnieje liczba największa s ∈ S dla której prawdą jest 3^s−100<=s!. Więc dla s+1∉S prawdą jest 3^{s + 1}−100>(s+1)! Teraz z tego co rozumiem muszę pokazać, że to dla s+1 jest fałszywe tylko nie wiem jak. Próbowałem tak 3^{s + 1}−100>(s+1)*s! dziele przez (s+1) ^{3s + 1−100}_s+1>s! skoro tak to u{3^{s + 1}−100}{s+1} > 3^s−100.

kochanus_niepospolitus: Podaj mi jak wygląda zasada maksimum

kochanus_niepospolitus: Twoje podejście na pewno będzie błędne. Bo to by oznaczało, że istnieje taki punkt 's' po którym 's+1' nie spełnia tejże nierówności, a z indukcji matematycznej wiemy, że to nie ma miejsca. Więc coś nie tak jest ze zrozumieniem zasady maksimum

Adamm: ale to jest przecież rozumowanie poprzez sprzeczność chociaż sam nie rozumiem, czego niby miałoby to dowodzić

kochanus_niepospolitus: czyli, że co zakładamy, że istnieje taki s∊S, że już (s+1) ∉ S ... hmmm 3^s+1 − 100 = 3(3^s − 100) + 200 ≤ 3*s! + 200 < 3*s! + 2*5! < 3*s! + 2*s! = 5*s! < s*s!< <(s+1)! sprzeczność Może w taki sposób jak już przez zaprzeczenie mamy robić.

Karmel: Dowolny niepusty i ograniczony od góry podzbiór S ⊆ N zbioru liczb naturalnych ma w sobie liczbę największą. To jest zasada maksimum i muszę ją jakoś wykorzystać żeby to rozwiązać Tak jak napisałeś "Bo to by oznaczało, że istnieje taki punkt 's' po którym 's+1' nie spełnia tejże nierówności" i właśnie tutaj muszę chyba pokazać sprzeczność, że takiego 's+1' nie ma.

kochanus_niepospolitus: no to patrz 12:28 ... tutaj pokazałem sprzeczność

kochanus_niepospolitus: de facto niewiele to się różni od indukcji matematycznej (rozumowanie to samo, przy czym w zasadzie maksimum po prostu musimy dojść do sprzeczności).

Karmel: jak pisałem to wtedy Ty odpowiedziałeś nie bardzo tylko rozumiem skąd to się wzięło po pierwszym równa się nie powinno być − 200?

kochanus_niepospolitus: 3^s+1 − 100 = 3*3^s − 100 = 3*3^s − 300 + 200 = 3*3^s − 3*100 + 200 = 3*(3^s − 100) + 200 teraz już widzisz skąd

Karmel: tak to już jest ok, a ten fragment < 3*s! + 2*5! < 3*s! + 2*s! = 5*s! < s*s!< <(s+1)! ?

kochanus_niepospolitus: 3*s! + 2*5! < 3*s! + 2*s! (bo przecież s>10 = (3+2)*s! = 5*s! < s*s! (bo znowu − przecież s>10) no a s*s! < (s+1)*s! = (s+1)! to już tłumaczyć chyba nie muszę

Karmel: ok wielkie dzięki za pomoc