Granica ciągu trygonometrycznego. supeerhiro2: Witam. Mam dany ciąg sin(x/2)*sin(x/4)*...*sin(x/2ⁿ) Jaka będzie jego granica jeśli wiemy że: granica ciągu cos(x/2)*cos(x/4)*...*cos(x/2ⁿ) = 1

mondry: taka sama

kochanus_niepospolitus: skoro granicą cos(x/2)*...*cos(x/2ⁿ) jest 1 to oznacza, że każdy z tych cosinusów przyjmuje wartość nieskończenie bliską 1 (bądź −1) związku z tym sinusy będą przyjmować wartość ... 0 Więc granica będzie wynosić

Adamm: o ile sin(x/2ⁿ)≠0 (czyli x≠2ⁿπk (może być od pewnego n)) to

sin(x/2n)cos(x/2)...cos(x/2n)		1	sinx		sinx
	=			→
sin(x/2n)		2n	sin(x/2n)		x

sinx
	=1 ⇒ sprzeczność
x

zatem musi być sin(x/2ⁿ)=0 dla nieskończenie wielu n zatem musi być x=0 czyli sin(x/2)sin(x/4)...sin(x/2ⁿ)=0→0

jc: Rozumiem, że cos x/2 cos x/4 ... cos x/2ⁿ →1. |cos x/2 cos x/4 ... cos x/2ⁿ| →1 ciąg jest nie rosnący |cos x/2 cos x/4 ... cos x/2ⁿ| ≤ 1 wniosek |cos x/2ⁿ| = 1 dla każdego n, a więc x=0, co daje pierwszą granicę równą zero. cos x/2 = ±1, x=kπ k/2ⁿ całkowite, k=0