proszę o objaśnienie x: Mam takie zadanie: sprawdź jak zachowuje się ciąg sin(n!), czy jest on gęsty? Uwaga: jeżeli zbiór jest gęsty, to nie ma granicy. Wpisałem w Wolfram sin(n!) http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28n!%29 otrzymując wykres, więc wiem jak sin(n!) się "zachowuje". Pytanie teraz co to znaczy, że zbiór (w zadaniu jest napisane ciąg, ale chodzi o zbiór?) jest gęsty? Na wiki jest napisane "Zbiór gęsty − zbiór, którego domknięcie jest całą przestrzenią". I tu utknąłem, więc proszę o wytłumaczenie "domknięcia" na przykładzie sin(n!).

Adamm: skąd masz takie zadanie

x:

	n2 sin(n!)
To jest zadanie domowe z ćwiczeń. Docelowo po to żeby wyliczyć granicę		.
	n+2

Adamm: niewiele mi to mówi

x: Więcej danych nie mam, a zadanie na jutro

x:

	n2 sin(n!)
Mógłbyś pokazać mi jak wyliczyć granicę		?
	n+2

Wolfram podaje "−∞ to ∞"... http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+%28n^2+*+sin%28n!%29%29%2F%28n%2B2%29+as+n-%3Einfinity

jc: Punkty sin n leżą gęsto na odcinku [−1,1]. A jak jest z n! ? nie wiem. Gdyby granica istniała, to sin n! →0, a tak pewnie nie jest.

x: jc, powiedz proszę − co to znaczy, że "punkty sin n leżą gęsto na odcinku [−1,1]". Jak rozumiem "punkty sin n" to wartości przyjmowane przez sin n"?

jc: To znaczy, że dla dowolnej liczby a∊ [−1,1] i dowolnego ε>0, znajdziesz n takie, | sin x − a | < ε.

x: Dziękuje za objaśnienie, ale póki co nic mi ono nie rozjaśniło. Podejdę więc do tematu jutro po zajęciach − może na nich czegoś się na ten temat dowiem.

jc: Pomyśl, że poruszasz się po okręgu o promieniu 1 wykonując kroki o długości 1. Twoje ślady wypełnią gęsto okrąg (bo obwód jest niewymierny). Nie wiem jak będzie z n!. sin( n! πe) →0 chociaż πe jest niewspółmierne z 2π (może tylko tak mi się wydaje?)

x: Chyba zrozumiałem Pytania kontrolne: 1. Promień = 1, bo długość okręgu to 2πr, a okres podstawowy sinusa to 2π? 2. Długość kroku = 1, bo mamy sin n, a n = {1,1+1,2+1,...}? 3. Dla sin(n!) długość kroku zwiększałaby się i wynosiła kolejno 1,2,6,24,120,720,...? 4. Ślady wypełniają gęsto tj. nie pokrywają się − czyli funkcja nie przyjmuje okresowo (rozpatrywana na kole) tych samych wartości, np. {1,2,3,4,coś, inne coś, jeszcze inne coś, 1, 2, 3, 4, jeszcze inne od innego, ...}?

x: 5. Jeżeli sin(n!) miałoby być gęste, to funkcja ta nie powinna zbyt często przyjmować tych samych wartości?

jc: Tak. Jak postawisz n kropek na okręgu, to jakieś dwie znajdą się obok siebie w odległości mniejszej niż 1/n. Niech to będę kropki o nr k, m. Kropki o numerach k+1, m+1 będą tak samo odległe. itd.

jc: Nie wiem, jak jest z sin(n!). Kiedyś nad tym myślałem i nic nie wymyśliłem. Podobnie nie wiem, jak jest z sin(2ⁿ). W zadaniu wystarczy pokazać, że sin(n!) nie ma granicy = 0. To wydaje się łatwiejsze, choć teraz też nie wiem jak to zrobić.

x: Nie rozumiem o co chodzi z tym, że k+1 i m+1 mają być tak samo odległe − nie wiem od które od których i czemu.

x: Napisałem program, który porównał wartości sin(n!) dla n∊[1,100] i żadna wartość się nie powtórzyła, więc możemy zakładać, że będzie gęsty?

jc: Nie może się nic powtórzyć, bo liczba π jest niewymierna. Ciąg pewnie jest gęsty, ale nie wiem, jak to uzasadnić.

x: Ok. Ja już na dzisiaj mam dość matmy, więc idę spać. Dziękuję za przybliżenie tematu.