analiza x: Korzystając z definicji uzasadnić, że podane funkcje są monotoniczne na wskazanych zbiorach:

	1
a) f(x) =		, (−∞,0)
	x2

	1
b) g(x) =		, [1, ∞)
	2x+1

Oba przypadki rozwiązałem poprzez pokazanie, że ciąg w mianowniku jest rosnący, a więc całość

	1
jest malejąc i napisałem, że skoro jest tak w a) R\{0} b) R\(−		), to tym bardziej w a)
	2

(−∞,0) b) [1,∞] Pytania do Was: 1. Czy taki sposób rozwiązanie jest ogólnie poprawny? 2. Co w tym zadaniu oznacza "korzystając z definicji"? 3. "na wskazanych zbiorach" oznacza zbiór wartości? Z góry dzięki

PW: a) Nie "ciąg", lecz "funkcja". Rozumowanie złe. To nieprawda, że funkcja g(x)=x² jest rosnąca w całym zbiorze liczb rzeczywistych.

x: Racja, fatalnie skopałem Jeżeli "cofnąłbym się" do ciągów z naturalnymi, to mógłbym pokazać monotoniczność w ten sposób?

PW: Nie, udowodnienie czegoś dla liczb naturalnych z dziedziny nie oznacza, że tak samo dzieje się dla wszystkich liczb z dziedziny. Po prostu, bierzemy x₁∊(−∞,0), czyli x₁<0 i drugi x z dziedziny, ale większy od x₁: (1) x₁<x₂<0 i staramy się pokazać, co będzie większe: f(x₁), czy f(x₂) − tak jak to jest w definicji funkcji monotonicznej. Liczymy:

	1		1
f(x1)−f(x2)=		−		=....
	x21		x21

i staramy się pokazać, czy ta różnica jest ujemna, czy dodatnia przy założeniu (1).

x: Ok, teraz to rozumiem, dziękuję.

	1
W 13:47 pytałem o to, czy jakbym miał np. A = {		: n∊N}, to czy wtedy mógłbym pokazać,
	n2

że w całej dziedzinie jest to ciąg malejący i na podstawie tego stwierdzić, że w dowolnym przedziale również.

x: (nadal w naturalnych oczywiście)