Liczby rzeczywiste zz: Która liczba jest większa? √2014 + √2016 czy 2√2015

mat: a>b [gdy a,b>0] ⇔ a²>b²

PW: Dla a>1 √a−1+√a+1≥2√√(a−1)(a+1) (nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną) √a−1+√a+1≥2⁴√a²−1>2⁴√a²=2√a

PW: O licho, to nieprawda (ostatnia nierówność "nie w tę stronę", tak się nie da.

iteRacj@: mat podpowiada dobry sposób dla a>0 i b>0 (a>b ⇔ a²>b²) a = (√2014 + √2016), b = (2*√2015) obliczymy a² = (√2014 + √2016)² = 2014 + 2*√2014*√2016 + 2016 = = 2014 + 2*√2014*2016 + 2016 = 4030 + 2*√(2015−1)*(2015+1) = = 2*2015 + 2*√(2015²−1) oraz b²= (2*√2015)² = 4*2015 teraz obliczmy różnicę a² − b² = 2*2015 + 2*√(2015²−1) − 4*2015 = = 2*√(2015²−1) − 2*2015 = 2*(√(2015²−1) − 2015) < 0 czyli a² − b² <0 a² < b² a < b

Mariusz: Można też pisemnie obliczyć trzy pierwiastki Trzeba tylko wiedzieć do którego miejsca po przecinku liczyć Pisemny sposób opiera się na wzorach skróconego mnożenia i pozycyjnym sposobie zapisu liczb

karty do gry : Nierówność między średnią kwadratową oraz arytmetyczną dla liczb √2014 , √2016

jc:

	1
√2015−√2014=
	√2015+√2014

	1
√2016−√2015=
	√2016+√2015

Dlatego √2015−√2014 > √2016−√2015 2√2015 > √2014−√2016 Inny sposób, y=√x jest funkcją wypukłą. (√2014+√2016)/2 < √(2014+2016)/2 czyli √2014+√2016) < 2 √2015