granica ciągu karl: witam,mam problem z ciągiem : lim ⁿ√9ⁿ−3ⁿ n→∞ Chcę to zrobić z tw. o 3 ciągach,ale nie wiem jak zrobić ciąg mniejszy od xn i większy Liczę na waszą pomoc

paralityk: na pewno jest tam minus?

mat: 9ⁿ −3ⁿ=9ⁿ[1−[1/3]ⁿ], więc..

mat: może byc +, moze byc − , nie ma znaczenia

paralityk: ale on chce na twierdzenie o 3 ciągach

mat: 1−[1/3]ⁿ<1 więc: 9ⁿ −3ⁿ < 9ⁿ 1−1/3 <1−[1/3]ⁿ, więc 2/3*9ⁿ < 9ⁿ −3ⁿ /dla n>1

jc: Jeśli 0<a≤1, to a≤ⁿ√a. Mamy więc 9 ≥ ⁿ√9ⁿ−3ⁿ ≥ 9ⁿ√1−1/3ⁿ ≥ 9(1−1/3ⁿ)

karl: Troche się pogubiłem w koncu jak to ma wyglądać w tw o 3 ciagach ?

jc: Może być tak, jak zaproponował mat. 1−1/3 ≤ 1−1/3ⁿ, a stąd 9ⁿ (2/3) ≤ 9ⁿ − 3ⁿ ≤ 9ⁿ 9 ⁿ√2/3 ≤ⁿ√9ⁿ−3ⁿ ≤ 9 lub tak, jak ja zaproponowałem 9(1−1/3ⁿ) ≤ ⁿ√9ⁿ−3ⁿ ≤ 9

paralityk: trochę nie rozumiem, jak znaleźliście mniejszy ciąg

karl: Dziękuje

jc: Przecież masz napisane. Wg mata: 1/3 < 1/3ⁿ 1−1/3 > 1 − 1/3ⁿ 9ⁿ (1−1/3) > 9ⁿ(1−1/3ⁿ) (2/3) 9ⁿ > 9ⁿ − 3ⁿ 9 ⁿ√2/3 > ⁿ√9ⁿ − 3ⁿ