wielomian technik: znajdź pierwiastki wielomianu: y=−x³+x+1

karty do gry : x³ − x − 1 = 0

	1		1
Δ = −		+		=
	27		4

x = ³√ 1/2 + √1/4 − 1/27 + ³√1/2 − √1/4 − 1/27

iteRacj@: albo skorzystaj z tw.Darboux, jeśli jesteś w szkole średniej

technik: hmm a jakimś innym sposobem, bo znam tylko z tw bezouta, i o pierwiastkach wymiernych

iteRacj@: ten wielomian nie ma pierwiastków wymiernych

technik: to jak można to rozwiązać np tym twierdzeniem Darboux,

iteRacj@: a znasz je?

iteRacj@: może po prostu w poleceniu chodzi o to, żeby na podstawie tw. Bezout pokazac, że nie ma pierwiastków wymiernych

technik: mniej więcej że jeśli funkcja jest ciągła i w przedziale np (x,y) f(x)=x₁ oraz f(y)=y₁ gdzie x₁>y₁to musi posiadać takie wartości (x₁,y₁)

technik: x₁<y₁

iteRacj@: takiego twierdzenia nie znam

technik: jest np przedział (0,2) i f(0)=3 a f(2)=−4 to funkcja musi w przedziale (0,2) przyjąć wszystkie wartości z przedziału (−4,3)

iteRacj@: przedział musi być domknięty weź <1,2> oblicz wartości funkcji dla x=1 i x=2

Maciess: Funkcja wielomianowa więc zbiór x∊R. Jest ciągła. Np f(a)>0 a f(b) <0 to znaczy, że po drodze musiało "przejść" przez 0. I tak wyznaczyłes przedział <a,b> w którym znajduje się pierwiastek. Można zmniejszać przedzial. Tak bym to zrobił u siebie w technikum gdyby Bezout zawiódł

technik: f(1)=1 f(2)=−5 czyli w przedziale <0,1> ma miejsce zerowe. tylko jak mam znaleźć taki przedział gdzie ma miejsce zerowe? zaczynać z jakimiś dużymi przedziałami i zwężać?

iteRacj@: w przedziale <1,2> ma miejsce zerowe

iteRacj@: tak, sprawdzasz dla dużych przedziałów i zawężasz

Maciess: A nie można uzyć tu tych wzorów? http://www.math.us.edu.pl/pgladki/faq/node127.html Nauczyciel na matmie nam wspominał, że są wzorki na pierwiastki wielomianu 3 stopnia. Patrze... Faktycznie istnieją.

5-latek: Jesli rownanie ma wspolczynniki rzecczywiste to ilosc pierwiastkow mozna znaleac stosujac twierdzenie Sturma Albo zastosuj regule Kartezjusza

iteRacj@: karty do gry ich użył, wtedy otrzymuje się dokładne rozwiązanie

technik: chyba nikt nie stosuje wzorów Cardano, są bardzo skomplikowane

iteRacj@: ax³ + bx² + cx + d = 0 w Twoim równaniu b = 0 więc jest trochę prościej

iteRacj@: i jeszcze przy korzystaniu z tw.Darboux musisz zwrócić uwagę na to, co napisał 5−latek, czy w tym przedziale jest jeden, czy więcej pierwiastków

Mariusz: karty do gry podałeś tylko jeden z pierwiastków nie pokazując jak go uzyskałeś Jeśli interesują nas tylko rzeczywiste pierwiastki nie pokazałeś czy jest to jedyny rzeczywisty pierwiastek iteRacj@: on podał tylko jeden pierwiastek który prawdopodobnie pochodzi z innego podstawienia gładki myli podstawienia używa podstawienia zastosowanego przez Vieta a przypisywanego jakiemuś Harriotowi Na to podstawienie trzeba uważać bo może prowadzić do dzielenia przez zero Gdyby karty do gry rozpisał jak uzyskał rozwiązanie to zobaczylibyście co mogłoby sprawiać problemy Bez zespolonych trzeba skorzystać z trygonometrii ,przydatne będą także podstawowe wiadomości o funkcjach aby zdefiniować sobie funkcję odwrotną do trygonometrycznej To może napiszę co może się przydać 1. Podstawienie bądź schemat Hornera (do wyrugowania wyrazu z x², podstawienie będzie jeszcze później potrzebne) 2. Przekształcanie równań (w tym grupowanie) 3. Wzory skróconego mnożenia 4. Wzory Vieta (równanie zapisujesz w postaci układu równań i przekształcasz do wzorów Vieta) 5. Pierwiastki równania kwadratowego 6. Liczby zespolone (przydatne do sposobu algebraicznego ale można je obejść) 7. Trygonometria (sinus , cosinus ,funkcje trygonometryczne sumy) 8. Funkcje (definicja, dziedzina, zbiór wartości , okresowość, różnowartościowość, złożenie funkcji, funkcja odwrotna)

iteRacj@: @Mariusz podejrzewam, że część uczniów szkoły średniej mogłaby zrezygnować z rozwiązywania gdyby wiedziała , że to będzie takie skomplikowane

PW: x³=x+1 po narysowaniu wykresów w układzie współrzędnych widać, że przecinają się w jednym punkcie o odciętej nieco większej od 1. Bierzemy kalkulator i liczymy metodą prób i błędów dochodząc np. do tego, że dla x=1,324 lewa strona jest równa 2,320940224,a prawa 2,324. Dla x=1,325 lewa strona już jest za duża, a więc pierwiastek wielomianu znajduje się w przedziale (1,324, 1,325). Chyba nic więcej od ucznia szkoły średniej nie można wymagać.