Mariusz:
x
4−9x
3+ 28x
2−36x+ 16=1
x
4−9x
3+ 28x
2−36x+ 15=0
Teraz pomysł jest taki aby przedstawić wielomian czwartego stopnia
najpierw w postaci różnicy kwadratów
a następnie w postaci iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych
korzystając z wzorów skróconego mnożenia wyróżnika trójmianu
(x
4−9x
3)− (−28x
2+36x− 15)=0
| | 81 | | 81 | |
(x4−9x3+ |
| x2)− ( |
| x2−28x2+36x− 15)=0 |
| | 4 | | 4 | |
| | 9 | | 81 | |
(x2− |
| x)2− ( |
| x2−28x2+36x− 15)=0 |
| | 2 | | 4 | |
| | 9 | | 31 | |
(x2− |
| x)2− (− |
| x2+36x− 15)=0 |
| | 2 | | 4 | |
Jeden z wielomianów w nawiasach jest już kwadratem zupełnym
Drugi wielomian jest trójmianem kwadratowym i będzie kwadratem gdy
jego wyróżnik będzie równy zero
Gdy policzymy wyróżnik może okazać się że nie jest on równy zero wprowadzamy więc parametr
aby uzależnić od niego wyróżnik
Parametr wprowadzasz tak aby ten wielomian który już jest kwadratem nadal nim był
czyli znowu korzystasz z wzorów skróconego mnożenia
| | 9 | | y | | 31 | | 9 | | y2 | |
(x2− |
| x+ |
| )2− ((y− |
| )x2+(− |
| y+36)x+ |
| − 15)=0 |
| | 2 | | 2 | | 4 | | 2 | | 4 | |
| | 9 | | y | | 31 | | 9 | | y2 | |
(x2− |
| x+ |
| )2− ((y− |
| )x2+(− |
| y+36)x+ |
| − 15)=0 |
| | 2 | | 2 | | 4 | | 2 | | 4 | |
Δ=0
| | y2 | | 31 | | 9 | |
4( |
| − 15)(y− |
| )−(− |
| y+36)2=0 |
| | 4 | | 4 | | 2 | |
| | 31 | | 81 | |
(y2−60)(y− |
| )−( |
| y2−324y+1296)=0 |
| | 4 | | 4 | |
| | 31 | | 81 | |
(y3− |
| y2−60y+465)−( |
| y2−324y+1296)=0 |
| | 4 | | 4 | |
y
3−28y
2+264y−831=0
Teraz musimy wyrugować wyraz z y
2
| | 28 | |
Robimy to podstawiając y=w+ |
| |
| | 3 | |
| | 28 | |
albo przedstawiając ten wielomian w postaci sumy potęg dwumianu (y− |
| ) |
| | 3 | |
stosując kilkukrotnie schemat Hornera
Gdy równanie będziemy mieli w postaci
w
3+pw+q=0
to podstawiamy w=u+v
Stosujemy wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy(różnicy)
a następnie grupujemy równanie
u
3+3u
2v+3uv
2+v
3+p(u+v)+q=0
u
3+v
3+q+3(u+v)uv+p(u+v)=0
| | p | |
u3+v3+q+3(u+v)(uv+ |
| )=0 |
| | 3 | |
Równanie zapisujemy w postaci układu równań
i przekształcamy go tak aby otrzymać wzory Vieta dla trójmianu kwadratowego
o pierwiastkach u
3 oraz v
3
u
3+v
3+q=0
| | p | | p | |
3(u+v)(uv+ |
| )=0 (* Tutaj założyliśmy że u+v=w więc do zera przyrównujemy uv+ |
| *) |
| | 3 | | 3 | |
u
3+v
3=−q
u
3+v
3=−q
| | p | |
uv=− |
| (*Podnosimy równanie obustronnie do trzeciej potęgi aby otrzymać wzory Vieta*) |
| | 3 | |
u
3+v
3=−q
Na podstawie wzorów Vieta piszemy równanie kwadratowe
Dalsza część rozwiązywania równania zależy od tego czy znamy liczby zespolone
Jeśli ich nie znamy musimy zrezygnować z metody czysto algebraicznej ,
skorzystać z trygonometrii , przydatne też będą wiadomości o funkcjach
np relacja przyporządkowująca elementom zbioru X dokładnie jeden element zbioru Y,
funkcja różnowartościowa ∀x
1,x
2∊D f(x
1)=f(x
2)⇒x
1=x
2,
składanie funkcji (jeżeli argumentem funkcji jest inna funkcja), funkcja odwrotna
| | p3 | |
Jeśli wyróżnik równania t2+qt− |
| =0 |
| | 27 | |
to nie znając liczb zespolonych musimy tutaj skorzystać z trygonometrii
cos(x+x)=cos(x)cos(x)−sin(x)sin(x)
cos(x+x)=cos
2(x)−sin
2(x)
cos(x+x)=cos
2(x)−(1−cos
2(x))
cos(x+x)=2cos
2(x)−1
sin(x+x)=sin(x)cos(x)+cos(x)sin(x)
sin(x+x)=2sin(x)cos(x)
cos(2x+x)=cos(2x)cos(x)−sin(2x)sin(x)
cos(2x+x)=(2cos
2(x)−1)cos(x)−2sin(x)cos(x)sin(x)
cos(2x+x)=(2cos
2(x)−1)cos(x)−2(1−cos
2(x))cos(x)
cos(2x+x)=2cos
3(x)−cos(x)−2cos(x)+2cos
3(x)
cos(2x+x)=4cos
3(x)−3cos(x)
w
3+pw+q=0
w
3+pw=−q
w=rcos(θ)
r
3cos
3(θ)+prcos(θ)=−q
| | p | | q | |
cos3(θ)+ |
| cos(θ)=− |
| |
| | r2 | | r3 | |
przy braniu pierwiastków trzeciego stopnia z pierwiastków równania kwadratowego
sprawdzasz czy spełniają one układ równań
u
3+v
3=−q
Mariusz:
jc spójrz na wpis z 9 lis 2017 11:23
Gdybyśmy chcieli dziedzinę to rozkład stosunkowo łatwo znaleźć
nawet bez zgadywania dzielników wyrazu wolnego
| | 9 | | x | |
x4−9x3+ 28x2−36x+ 16=(x2− |
| x+4)2−( |
| )2 |
| | 2 | | 2 | |
x
4−9x
3+ 28x
2−36x+ 16=(x
2−5x+4)(x
2−4x+4)
| | 113 | | 9 | |
(16−36x+ |
| x2−9x3+x4)=(4− |
| x+x2)2 |
| | 4 | | 2 | |
16
| | 113 | | 9 | | 9 | |
−36x+ |
| x2−9x3+x4|(8+(− |
| x))(− |
| x) |
| | 4 | | 2 | | 2 | |
8x
2−9x
3+x
4|(8−9x+x
2)x
2
8x
2−9x
3+x
4
0
Gdyby wielomian nie był kwadratem to każda iteracja dawałaby kolejny wyraz szeregu
Obliczając w ten sposób zakładamy że a
0≠0
Pierwiastki wielokrotne można usunąć dzieląc wielomian W(x) przez NWD(W(x),W'(x))
NWD można policzyć biorąc reszty z kolejnych dzieleń