Ciagi aalicjaa1306: Jak zbadać czy ciąg jest ciągiem arytmetycznym czy geometryczny? np ciąg an=5 an= 3n−2 an= 3n² an= 2*3ⁿ an= 2ⁿ+3 an= 2*3ⁿ +1

kochanus_niepospolitus: wypisujesz sobie trzy dowolne wyrazy i sprawdzasz czy zachowana jest zależność: 2a_n = a_n−1 + a_n+1 (wtedy jest to ciąg arytmetyczny) a_n² = a_n−1*a_n+1 (wtedy jest to ciąg geometryczny np. a_n = 5 to a_n−1 = 5 ; a_n = 5 ; a_n+1 = 5 łatwo zauważyć, że: 2a_n = a_n−1 + a_n+1 zajdzie, bo: 2*5 = 5 + 5 więc to jest ciąg arytmetyczny bądź też a_n = 2*3ⁿ to: a_n−1 = 2*3ⁿ⁻¹ ; a_n = 2*3ⁿ ; a_n+1 = 2*3ⁿ⁺¹ sprawdzamy: 2a_n = a_n−1 + a_n+1 2*2*3ⁿ ?=? 2*3ⁿ⁻¹ + 2*3ⁿ⁺¹ 4*3*3ⁿ⁻¹ ?=? 2*3ⁿ⁻¹ + 2*3²*3ⁿ⁻¹ 12*3ⁿ⁻¹ ?=? 20*3ⁿ⁻¹ co nie jest prawdą dla DOWOLNEGO n no to sprawdzamy: a_n² = a_n−1*a_n+1 (2*3ⁿ)² ?=? 2*3ⁿ⁻¹*2*3ⁿ⁺¹ 4*3²ⁿ = 4*3^{n−1 + n+1} 4*3²ⁿ = 4*3²ⁿ czyli to jest ciąg geometryczny

kochanus_niepospolitus: oczywiście ... większość ciągów można sprawdzić czy NIE jest arytmetycznym ciągiem bądź geometrycznym, patrząc na a₁, a₂, a₃ Jednak to nie pokazuje, że NA PEWNO jest on arytmetyczny bądź geometryczny.

Bogdan: Ciąg arytmetyczny ma postać liniową: a_n = an + b, gdzie współczynnik a jest równy różnicy ciągu, np.: a_n = 3n − 2, to jest ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Ciąg geometryczny ma postać wykładniczą: a_n = a*b^{cn + d}, gdzie b^c jest stałym ilorazem ciągu, np.: a_n = 2*3ⁿ, to jest ciąg geometryczny o ilorazie 3¹ = 3, a_n = 5*3²ⁿ⁻¹, to jest ciąg geometryczny o ilorazie 3² = 9

Bogdan: Ciąg a_n = 2*3ⁿ⁺¹ jest geometryczny, ciąg a_n = 2*3ⁿ + 1 nie jest geometryczny