Funkcje ciągłe Mariusz: Dobry wieczór mam zadanko Udowodnić że każde równanie stopnia nieparzystego n o współczynnikach rzeczywistych postaci an*xⁿ +an−1*xⁿ−1+...+a1x+a0=0 ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

Mariusz: Po przeczytaniu jeszcze raz tego zadania i przeczytania tw. Darboux poradziłem sobie

Adamm: W(x)=xⁿ+(a_n−1/a_n)xⁿ⁻¹+...+a₀/a_n, n jest nieparzyste mamy udowodnić że W(x)=0 ma przynajmniej jedno rozwiązanie lim_x→∞ W(x) = lim_x→∞ xⁿ(1+(a_n−1/a_n)x⁻¹+...+(a₀/a_n)x⁻ⁿ) = ∞ lim_x→−∞ W(x) = −∞ więc znajdziemy zawsze taki a, że W(a)<0 oraz taki b, że W(b)>0 W(x) jest funkcją ciągłą na przedziale [a; b] W(a)W(b)<0 zatem na mocy tw. Darboux istnieje taki c∊[a; b] że W(c)=0

Adamm: tak poza tym, mając same współczynniki wielomianu, można znaleźć takie przedziały, że pierwiastki na pewno się w nich zawierają

Mariusz: ja trochę bardziej to rozpisałem ale zrobiłem identycznie bardzo dziękuje za uściślenie Adamm

Maciek: Adamm, nie możesz tak podzielić bo a_n może być równe 0

Adamm: nie może zakładamy że n to stopień wielomianu czyli a_n jest różne od 0

Adamm: w 21:21 chodziło mi konkretnie o takie twierdzenie twierdzenie Carmichaela każdy pierwiastek wielomianu W(x)=xⁿ+a₁xⁿ⁻¹+...+a_n spełnia nierówność |x|≤|a₁|+√|a₂|+...+ⁿ√|a_n| jeśli kiedyś będziesz miał liczby zespolone, to to twierdzenie działa również gdy mówimy o pierwiastek zespolonych, a a₁, ..., a_n są zespolone

Maciek: a jak są zespolone to chyba można bez wartości bezwzględnych

Adamm: nierówności nie są zdefiniowane w zbiorze liczb zespolonych