Wykaż, że xyz: Potrzebuje pomocy przy kilku zadaniach 1. Wykaż, że wyrażenie n²k² − nk² + kn² − kn jest podzielne przez 4, jeśli n∊C i k∊C. 2. Wykaż, że dla n∊N wyrażenie n⁵ − 5n⁴ + 5n³ +5n² −6n jest wielokrotnością 5!. 3. Wykaż. że liczba 7³⁰ − 8*7²⁰ + 15*7¹⁰ jest podzielna przez 56. I ostanie 4. Wykaż, że dla n∊N liczba 81ⁿ − 1 jest wielokrotnością liczby 16.

PW: Cała praca domowa na sobotni wieczór? Zadanie 4. 81ⁿ − 1 = (81−1)(81ⁿ⁻¹+81ⁿ⁻²+...+1), co kończy dowód (pierwszy czynnik jest podzielny przez 16).

Blee: 1) ... = nk(nk − k + n − 1) = nk*(k+1)*(n−1) O ile oczywiscie samo wyrazenie nie bedzie rowne 0 to a) niech n i k beda parzyste ... wtedy nk podzielne przez 4 b) niech n parzyste i k nieparzyste ... wtedy nk podzielne przez 2 oraz k+1 podzielne.przez 2 c) niech n nieparzyste i k parzyste ... analogicznie d niech n i k nieparzyste ... wtedy (n−1) i (k+1) sa podzielne przez 2

Blee: 3) Zauwaz ze 56 = 7*8 Od razu widac ze to wyrazenie jest podzielne przez 7, teraz wystarczy pokazac ze bedzie.podzielne przez 8

3Silnia&6: 2) rozloz na czynniki, chyba wyjdzie (n−3)(n−2)(n−1)n(n+1) − iloczyn 5 kolejnych cyfr jest wielokrotnoscia 5! 3) 7³0 − 8*7²0 + 15*7¹0 = 7³0 − (7+1)*7²0 + (2*7+1)*7¹0 = 7³0 − 7²1 − 70²0 + 2*7¹1 + 7¹0 7 ≡−1 (mod 8)

Eta: 1/ (n−1)*n*k(k+1) iloczyn (n−1)*n −−podzielny przez 2 (iloczyn dwu kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 2 iloczyn k(k+1) −−− podzielny przez 2

Adamm: 7³⁰−8*7²⁰+15*7¹⁰=7¹⁰(7²⁰−8*7¹⁰+15)=7¹⁰(7¹⁰−3)(7¹⁰−5) (7¹⁰−3)(7¹⁰−5) − dwie kolejne liczby naturalne parzyste czyli 8|(7¹⁰−3)(7¹⁰−5)