Nie wiem jak to wykazac :/ jan: Udowodnij nierówność a² + c² + c² +3 ≥ 2(a+b+c)

Blee: Przerzuc wszystko na leza strone. Zauwaz ze a²−2a to funkcja f(a) ktorej obrazem jest parabola. Najmniejsza wartosc jaka przyjmuje ta funkcja to −1 (dla a=1) Analogicznie dla b i c. W efekcie wiemy ze a²−2a + b²−2b + c²−2c ≥ −3 Wniosek

jan: prawda bo suma tych wyrażeń a² −2a itd. będzie większa lub ewentualnie równa −3. Dzięki wielkie nie wpadłbym sam na to

Jerzy: a² − 2a + 1 + b² − 2b + 1 + c² − 2c +1 − 3 + 3 ≥ 0 (a − 1)² + (b − 1)² + (c−1)² ≥ 0 cnw.

jan: jeszcze lepiej

jan: x+y+z = 3 udowodnij x² + y² + z² ≥3 hmmm

PW: Można powiedzieć, że przed chwilą zostało udowodnione i to.

Blee: zauwaz ze x+y+z = 3 to 2x+2y+2z = 6 Dodaj w nierownosci po obu stronach 3 Prawa strona −−− podstaw 2x+2y+2z I masz dokladnie to co wczesniej bylo

jan: ja to zacząłem robić w ten sposób że x+y+z = 3 −−> 1 =(x+y+z)/3 (x² +y² + z²) / 3 ≥ 1 (x² +y² + z²) / 3 ≥ (x+y+z)/3 i sumie to dalej nie mam wizji tego

jan: Blee zdecydowanie lepszy pomysł

jc: Przecież już wiesz, że a²+b²+c² + 3 ≥ 2(a+b+c) Jeśli a+b+c = 1, to mamy a²+b²+c² + 3 ≥ 2*3 a²+b²+c² ≥ 3

PW: Masz dwa zadania podane "w dobrej dydaktycznie kolejności". Jeżeli już udowodniłeś pierwsze, to wystarczy w nim po prawej stronie podstawić x+y+z = 3, aby otrzymać drugie. No chyba że zamiana literek a,b,c na x,y,z jest przeszkodą.

Jerzy: (x + 1)² −2x − 1 + (y +1)² − 2y − 1 + (z + 1)² − 2z −1 ≥ 3 ⇔ ⇔ ( x+1)² + (y+1)² + (z +1)² − 2(x+y+z) − 3 ≥ 3 ⇔ ... i poradzisz sobie dalej.

kochanus_niepospolitus: Jerzy ... nie lepiej: (x−1)² + (y−1)² + (z−1)² +2(x+y+z) − 3 ≥ 3

Jerzy: Znacznie

jan: Okay ten typ zadanek już ogarniam, dziękuję bardzo A jak poradzić sobie z takim czymś? Wykaż, że jeśli a∊R,b∊R oraz a>b i a + 2b<0, to a(a+b) <2b² Jakaś wskazówka?

kochanus_niepospolitus: a+2b < 0

a		a2		a2
	< −b −>		< b2 −>		< 2b2
2		4		2

oraz wiemy, że:

	a
b < −
	2

no to wstawiamy:

	a		a		a2
a(a+b) < a( a −		) = a*		=		< 2b2
	2		2		2

c.n.w.

Jerzy: a > b ⇔ a − b > 0 i a + 2b < 0 teraz pomóż te nierówności stronami ( uważaj na znak nierówności )

Jerzy: Jedna kinijka: (a − b)(a +2b) < 0 ⇔ a² + 2ab − ab −2b² < 0 ⇔ a² + ab < 2b² ⇔ a(a + b)< 2b² cnd

Janek191: a > b ⇒ a − b > 0 a + 2 b < 0 a < − 2 b / (a − b) a*( a − b) < − 2 a b + 2 b² a² − a b + 2 a b < 2 b² a² + a b < 2 b² a*(a + b) < 2 b² ================

jan: Dziękuję bardzo