granice michał: zbadać czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone

	2+cosn
an =
	3−2sinn

bn = ⁿ√2ⁿ−1 cn = √n+8−√n+3 jak się robi takie zadania ( schemat robienia ) gdzie trzeba zbadać czy są ograniczone z dołu/góry?

michał: up

Jack: a) licznik: − 1 ≤ cosn ≤ 1 zatem −1+2 ≤ 2+cosn ≤ 1+2 1 ≤ 2+cosn ≤ 3 teraz mianownik: − 1 ≤ sinn ≤ 1 −2 ≤ 2sinn ≤ 2 2 ≥ −2sinn ≥ − 2 2+3 ≥ 3−2sinn ≥ − 2 + 3 5 ≥ 3−2sinn ≥ 1 czyli 1 ≤ 3−2sinn ≤ 5 zatem jeszcze raz: licznik: 1 ≤ 2+cosn ≤ 3 mianownik: 1 ≤ 3−2sinn ≤ 5 zatem mamy

1		2+cosn		3
	≤		≤
5		3−2sinn		1

zatem jest to ciag ograniczony.

michał: a w tym 1− √n to będzie −∞ <= 1−√n <= 0 tak? bo √1 = 1

Jack: b) mamy sobie ciag ⁿ√2ⁿ−1 jakby to ograniczyc? z gory raczej prosto...skoro odejmowalismy jeden, to teraz nie odejmiemy tej jedynki ⁿ√2ⁿ−1 ≤ ⁿ√2ⁿ = 2 natomiast co z dolem? na pewno mozna ograniczyc go jedynka...dlaczego? wpisz dowolna liczba w kalkulator i wciskaj znak pierwiastka, to ostatecznie dojdziesz do jedynki. zatem, hmm, jakby to ten tegowac...

Jack: jesli bys mial przyklad 1−√n to bys mial − ∞ < 1−√n ≤ 1 zatem jest jedynie ograniczony z gory.

michał: dlaczego 1− √n <= 1? na logike to powinno być 0

michał: a1 = 1 − 1 = 0 a4 = 1−2 = −1 a9 = 1 − 3 = − 2

Jack: a jak podstawisz zero za n ?

kochanus_niepospolitus: michał ... to co ... jak coś jest mniejsze równe 0 to już mniejsze równe od 1 nie jest

michał: nie rozumiem

kochanus_niepospolitus:

	1
mamy ciąg
	n

	1
Twierdzę, że		≤ 100 ... czy mam rację
	n

michał: no tak, ale nadal nie widzę relacji xd

michał: kochanus równie obrze mogę napisać, że jak coś jest mniejsze równe 0 to jest też mniejsze równe 100, ale nie napiszę przecież 1−√n <=100 sprobuj mi to łopatologicznie wytłumaczyć

kochanus_niepospolitus: A niby dlaczego nie możesz tak napisać ... przecież to prawda. Jeżeli w zadaniu masz dowieść, że coś jest ograniczone z góry ... to taki M=100 jest ograniczeniem. Oczywiście M=0 także będzie ograniczeniem, ale w zadaniu nie było wskazane, że szukamy kresu górnego (czyli najmniejszego ograniczenia z góry).

jc: Dla n ≥ 1, 2ⁿ − 1 ≥ 2−1 = 1, a więc ⁿ√2ⁿ − 1 ≥ 1.

Jack: na najprostsze rozw. najtrudniej wpasc : D