Kresy Milo: Udowodnić, że zbiór

	nn
{		: n=1,2,..} jest ograniczony. Wyznaczyć jego kresy.
	(n!)2

Udało mi się wyznaczyć supremum, ale nie wychodzi mi infimum − tzn. zgaduję, że 0, ale nie potrafię tego udowodnić.

jc:

(n+1)n+1		nn		1		1		3
	:		=		(1+		)n <
(n+1)! (n+1)!		n! n!		n+1		n		n+1

Wniosek. W zbiorze znajdziemy dowolnie małe dodatnie liczby.

Milo: Rzeczywiście! Bardzo dziękuję

Adamm: to wcale nic nie dowodzi

Adamm:

nn
	→g
(n!)2

(n+1)n+1−nn		nn		(n+1)*(1+1/n)n−1
	=		*		→0
((n+1)!)2−(n!)2		(n!)2		(n+1)2−1

z tw. Stolza 0=g i faktycznie ale nie można zakończyć na tym że ciąg jest od pewnego miejsca malejący

Milo: Wiem, ale to podsunęło taki pomysł: Oznaczę to wyrażenie przez a_n

	3
Wiemy, że 0 ≤ an+1 ≤		*an dla dostatecznie dużych n (jc pokazał)
	n+1

Wiem też, że a_n jest ograniczony (z dołu przez 0 oczywiste, z góry przez 1 pokazałem) Więc lewa i prawa strona dążą do 0 (własności arytmetyczne granicy), więc a_n+1 zbiega do 0 A łatwo pokazać, że a_n zbiega tam, gdzie a_n+1. To by przeszło? Zdaje się, że miałem na ćwiczeniach coś w tym stylu.

jc: a_n+1 ≤ (3/4) a_n dla n ≥ 3 a_n ≤ (3/4) a_n−1 dla n ≥ 4 a_n ≤ (3/4)ⁿ a₃ = (3/4)ⁿ⁺¹