czy istnieje liczba lala: Czy istnieje liczba, której kwadrat zapisuje się za pomocą trzech jedynek porozdzielanych pewną liczbą zer (czyli może mieć postać np.: 10011, 10010000100, 1110000)? Odpowiedź musi zawierać przekonujące uzasadnienie.

kochanus_niepospolitus: Liczba taka (składająca się tylko z trzech '1' i reszty '0') będzie liczbą podzielną przez 3, ale nie będzie liczbą podzielną przez 9 (własności podzielności przez 3 i 9 się kłaniają) stąd wniosek −−− taka liczba NIE MOŻE być kwadratem liczby NATURALNEJ (a o tym pewnie w treści zadania jest wspomniane, ale autorka zapomniała to napisać).

lala: A czemu nie może być?

PW: No to jeszcze raz. kochanus_niepospolitus pokazał, że określona w zadaniu liczba ma postać 3p, p∊N, czyli mówiąc po ludzku jest podzielna przez 3. Gdyby istniała liczba k, taka że (*) k² = 3p, p∊N to: − dla p = 3q, q∊N byłoby k² = 9q, a więc zadana liczba byłaby podzielna przez 9 (a nie jest), − dla p niepodzielnego przez 3 otrzymujemy także sprzeczność − po prawej stronie (*) w rozkładzie na czynniki pierwsze jest tylko jedna liczba 3, a po lewej albo żadnej "trójki" nie ma, albo jest ich parzysta liczba.