Równania logarytmiczne Maciek: Rozwiąż: a) log (log x) + log (log x² − 1) = 1 b) log₂x + log₃x + log₄x = 1 Ad (a) log[log x (log x² − 1)] = log 10; t = log x t (t² − 1) = 10 Ad (b)

logxx		logxx		logxx
	+		+		= logxx
logx2		logx3		logx4

1		1		1
	+		+		= logxx
logx2		logx3		logx4

5-latek: W a) bym tak zrobil ale nie okresliles dziedziny (tutaj latwo b) tez dziedzina i bym zamienim logarytmy na podstawe 2

karty do gry : a) Dziedzina b) Dziedzina i zamień podstawy wszystkich logarytmów po lewej stronie na 2.

Maciek: a) D = (1; ∞), nie wiem co dalej b) D = (0; ∞)

	log2x		log2
log2x +		+		= 1
	log23		log24

	log2		log2x
log2x +		= 1 −
	2		log23

3		log23		log2x
	* log2x =		−
2		log23		log23

	log2(3/x)
log2x3/2 =
	log23

x^3/2 = 1/x | *x x³ = 1 x = 1, jednak wątpię, że jest to poprawny wynik

karty do gry : logx² ≠ (logx)² . logx(logx² − 1) = 10 logx(2logx − 1) = 10 t = logx , t > 0 t(2t − 1) = 10

karty do gry : ale chwile. Do dziedziny musi jeszcze dojść warunek : logx² − 1 > 0 logx² > 1 x² > 10 x > √10

Maciek: t₁ = −2 t₂ = 5/2 t₂ spełnia założenia log₁₀x = 5/2 x = 10^5/2; => również spełnia założenia dziedziny

karty do gry : log₂x + alog₂x + blog₂x = 1 log₂x(1 + a + b) = 1

	1
log2x =
	1 + a + b

x = 2^{1/(1 + a + b)} Nie utrudniaj sobie niepotrzebnie życia.

Maciek: Ale ile wynoszą wtedy a, b?

karty do gry :

	1
a =
	log23

	1
b =
	2

Maciek: Ahaaa... Czyli to co rozpisałem na początku jest ok, tylko niepotrzebne obliczenia potem zacząłem robić? Ty skorzystałeś ze wzoru log_ac = b ⇔ a^b = c, a ja niepotrzebnie to ciągnąłem? Mam jeszcze dwa przykłady, jeśli miałbyś czas: c) 3^7−x = 4^{3 + x} 2187 * 1/3^x = 64 * 4^x 2187/64 = 12^x x = log₁₂ (2187/64) Czy jest to poprawnie?

	1		1
d)		<
	ex + 1		e2x − 1

ex − 1		1
	<
e2x − 1		e2x − 1

ex − 2
	< 0
e2x − 1

(e^x − 2)(e^2x − 1) < 0 t = e^x (t − 2)(t² − 1) < 0 t³ − 2t² − t + 2 < 0 (t−1)(t² − t − 2) < 0 (t − 1)(t + 1)(t − 2) < 0 Co dalej? e − liczba eulera

karty do gry : (e^x − 1)(e^x + 1)(e^x − 2) < 0 (e^x − 1)(e^x − 2) < 0 x ∊ (0 ; ln(2))

Maciek: Bardzo dziękuję i życzę dobrego dnia i odpoczynku.