grupy algebra: Mam rozlozyc permutacje na iloczyn transpozycji liczb sasiednich, czyli 1) rozkladam ja na cykle rozlaczne 2) potem te cykle rozkladam na iloczyn transpozycji 3) nastepnie te transpozycje na iloczyn transpozycji liczb sasiednich Tak?

	1 2 3 4 5 3 2 5 4 1
Np. β=

1) β=(1,3,5) 2) β=(1,3,5)=(1,3)(3,5) 3) β=(1,3,5)=(1,3)(3,5)=(1,2)(2,3)(1,2)(3,4)(4,5)(3,4) Zatem β jako iloczyn transpozycji liczb sasiednich jest postaci β=(1,2)(2,3)(1,2)(3,4)(4,5)(3,4). Dobrze?

Pytający: Pewnie można inaczej rozłożyć, ale tak − ten sposób jest dobry. Błędu nie dostrzegłem.

algebra: Ok. Dziekuje.

	1 2 3 4 5 6 6 4 3 5 2 1
2. Mam przedstawic permutacje γ=		∊ S6 jako zlozenie pewnej liczby

transpozycji postaci (1, i), gdzie i ∊ {2, 3, 4, 5, 6}. Czyli γ=(1,6)(2,4,5)=(1,6)(2,5)(2,4) Jak teraz przejsc do postaci (1, i) ?

jc: (2,5)=(1,2)(1,5)(1,2) (2,4)=(1,2)(1,4)(1,2) (2,4,5)=(2,5)(2,4)=(1,2)(1,5)(1,4)(1,2)

algebra: A jak to wyznaczyc? I dlaczego w tym rozkladzie nie ma wszystkich wczesniejszych transpozycji?

jc: (a,b)(a,b)=identyczność (a,b)=(1,a)(1,b)(1,a) a →1 →b b →1 →a 1 →a →1

algebra: Ok. Dziekuje.

jc: Oczywiście a,b ≠ 1. Jeśli a=1 albo b=1, to nic nie musimy zmieniać.

algebra: Transpozycje sa niejednoznaczne, czyli (a,b)=(b,a) prawda?

algebra: Dla permutacji γ: a) okreslic jej rzad b) ile elementow tego rzedu jest w grupie S₆ c) okreslic indeks podgrupy generowanej przez γ Umiem tylko a). a) rzad permutacji γ jest rowny NWW(2, 3)=6 W jaki sposob wyznaczyc pozostale?

jc: Permutacje postaci (a,b,c,d,e,f) oraz (a,b)(c,d,f). Razem 5! + 15*4*2=240.

algebra: b) A skad taka suma? Skad sie bierze 5! i iloczyn 15*4*2 ?

jc: Ile masz cykli o długości 6?

algebra: Nie wiem

algebra: Znalazlem taka informacje, ze liczba cykli o dlugosci k w zbiorze n−elementowym jest rowna

	n k
		(k−1)!.

Zatem cykli o dlugosci 6 w 6−elementowym zbiorze jest 5!=120. A jak wybierac elementy dla (a,b)(c,d,f)?

algebra: ?

algebra: ?

Pytający:

6 2		4 3
	*		*(3−1)!=15*4*2

6 2
	// wybór a,b

4 3
	// wybór c,d,f

(3−1)! // ustawień c,d,f w cykl

algebra: Dziekuje

algebra:

	6 6		6 2	4 3
Czyli b)		*5!+			*2!=120+120=240.

c) <γ>={γ⁰=e,γ¹,γ²,γ³,γ⁴,γ⁵} Tak? O jaki indeks chodzi?

algebra: ?

algebra: ?