grupy algebra: 1. Ile roznych działan k−argumentowych mozna okreslic na zbiorze n−elementowym? a) ile z nich jest przemienne? b) ile z nich ma element neutralny? c) ile jest takich, ktore sa przemienne i maja element neutralny? Ja znam tylko odpowiedz na 1. Czyli liczba dzialan k−argumentowych na zbiorze n−elementowym jest rowna liczbie wszystkich funkcji z n^k−elementowego zbioru w n−elementowy zbior, czyli wynosi n^nk. A jak wyznaczyc pozostale?

algebra: ?

Pytający: Pytanie, cóż właściwie znaczy, że działanie k−argumentowe jest przemienne? Przykładowo: kiedy działanie 3−argumentowe jest przemienne? Podobnie, czym miałby być element neutralny działania k−argumentowego? Jaką własność miałby spełniać?

algebra: To niech 1. Bedzie taka jak jest a do pozostalych podpunktow niech to bedzie dzialanie dwuargumentowe na zbiorze n−elementowym.

Pytający: a) W zasadzie przemienność dla działania k−argumentowego można rozumieć tak, że te same argumenty w dowolnej kolejności dają ten sam wynik. Przykładowo dla 2−elementowego zbioru X={a,b} możemy określić działanie 3−argumentowe O:X³→X. Aby działanie O było przemienne, musi zachodzić: O(a,a,a)=v₁, O(b,b,b)=v₂, O(a,a,b)=O(a,b,a)=O(b,a,a)=v₃, O(a,b,b)=O(b,a,b)=O(b,b,a)=v₄, gdzie v_i∊X. Zatem jest 2⁴ takich działań przemiennych. W przypadku ogólnym: mamy n−elementowy zbiór Y, określamy na nim działanie k−argumentowe P:Y^k→Y. Owymi k argumentami może być od 1 do k różnych elementów zbioru Y (niektóre mogą się powtarzać, jak w przykładzie O(a,a,a) − mamy 1 element zbioru X, który jest "potrójnym argumentem").

	n i
Odpowiednią ilość elementów wybieramy na		sposobów, gdzie 1≤i≤k, i∊ℕ. Trzeba jeszcze

rozróżnić, ile razy dany wybrany element występuje jako argument. W przykładzie dla wyboru 2 różnych elementów na argumenty: a, b, należało rozróżnić przypadek, gdy a występuje jednokrotnie i b dwukrotnie z przypadkiem, gdy b występuje jednokrotnie i a dwukrotnie. Generalizując, mamy już wybrane i elementów, które są argumentami, więc trzeba rozróżnić przypadki ze względu na ilość wystąpień danego elementu jako argumentu. Oznaczmy: y_j − ilość wystąpień j−tego wybranego elementu jako argumentu, 1≤j≤i Wtedy zachodzi: ∑_j=1ⁱ y_j=k, gdzie y_j≥1 Równoznacznie: ∑_j=1ⁱ z_j=k−i, gdzie z_j≥0

	(k−i)+i−1 k−i		k−1 k−i
Równanie to ma		=		rozwiązań (patrz kombinacje z powtórzeniami).

Ostatecznie jest n^m działań przemiennych k−argumentowych na zbiorze n−elementowym, gdzie:

	n i		k−1 k−i		(k+n−1)!
m=∑i=1k		*		=		.
					k!(n−1)!

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+i%3D1..k+of+binomial(n,i)*binomial(k-1,k-i) Hmmm, pewnie da się jakoś ładnie uzasadnić rozwiązanie z silniami. Dla wyżej podanego przykładu mielibyśmy:

2 i

3−1 3−i

2 1

2 2

2 2

2 1

2 3

2 0

∑i=13

*

=

*

+

*

+

*

=2+2+0=4=

	(3+2−1)!
=		,
	3!(2−1)!

a w konsekwencji 2⁴ działań przemiennych, jak wyżej. Dla działania binarnego na zbiorze n−elementowym: a) n^n(n+1)/2 działań przemiennych (uproszczenie ogólnego podejścia dla k=2) b) n*nⁿ²⁻ⁿ=n^n(n−1)+1 działań z elementem neutralnym Elementem neutralnym e może być 1 z n elementów, wtedy dla każdego elementu a tego zbioru wynik działania a◯e jest ustalony, a◯e=a. Pozostałe n²−n par argumentów może mieć nⁿ²⁻ⁿ różnych wartościowań. c) n*n^{(n−1)((n−1)+1)/2}=n^n(n−1)/2+1 działań przemiennych z elementem neutralnym Elementem neutralnym e może być 1 z n elementów, wtedy dla każdego elementu a tego zbioru wynik działania a◯e jest ustalony, a◯e=a. Działanie jest przemienne, więc również e◯a=a. Zatem wszystkie wartości działania, gdzie e jest argumentem są ustalone, stąd "po usunięciu" e z naszego zbioru możliwych argumentów mielibyśmy działanie przemienne ze zbioru (n−1)−elementowego w zbiór n−elementowy (bo e może być tam wartością), takich działań jest n^{(n−1)((n−1)+1)/2} (podpunkt a po małej zmianie). Może się nie machnąłem.